《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

13. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90° $, $ AC = 6 $, $ BC = 2\sqrt{3} $,解这个直角三角形.

答案： 13.解：在Rt△ABC中，
∵tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠A=30°.
∵∠A + ∠B=90°，
∴∠B=60°.(3分)
∵AB²=BC² + AC²，
∴AB=$\sqrt{6^{2} + (2\sqrt{3})^{2}}$=$\sqrt{36 + 12}$=$\sqrt{48}$=4√3.(6分)

14. 一副直角三角尺按如图所示放置,点 $ C $ 在 $ FD $ 的延长线上, $ AB // CF $, $ \angle F = \angle ACB = 90° $, $ \angle E = 45° $, $ \angle A = 60° $, $ AC = 10 $,求 $ CD $ 的长.

答案：
14.解：如图，过点B作BM⊥FD于点M.

在Rt△ACB中，
∠ACB=90°，
∠A=60°，AC=10，
∴∠ABC=30°，BC=AC·tan 60°=10√3.(2分)
∵AB//CF，
∴∠BCM=30°，
∴MB=BC·sin 30°=10√3×$\frac{1}{2}$=5√3，
CM=BC·cos 30°=10√3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=15.(4分)
在Rt△BMD中，∠BMD=90°，∠EDF=45°，
∴MD=MB=5√3，
∴CD=CM - MD=15 - 5√3.(6分)

15. 教材变式·沪科九上 P131T3 某市为了加快 5G 网络信号覆盖,在市区附近小山顶架设信号发射塔,如图所示. 小军为了知道发射塔的高度,从地面上的一点 $ A $ 测得发射塔顶端点 $ P $ 的仰角是 $ 45° $,向前走 $ 60 m $ 到达点 $ B $ 测得点 $ P $ 的仰角是 $ 60° $,测得发射塔底部点 $ Q $ 的仰角是 $ 30° $. 请你帮小军计算出信号发射塔顶点 $ P $ 到地面的距离. (结果精确到 $ 0.1 m $, $ \sqrt{3} \approx 1.732 $)

答案： 15.解：延长PQ交直线AB于点C.
由题意可知∠BCP=90°.(1分)
设PC=x m.在Rt△APC中，
∠A=45°，则AC=PC=x m.
∵∠PBC=60°，
∴∠BPC=30°.
在Rt△BPC中，BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x m.(5分)
∵AB=AC - BC=60m，则x - $\frac{\sqrt{3}}{3}$x=60，
解得x=90 + 30√3≈142.0(m).
答：信号发射塔顶点P到地面的距离为142.0m.(8分)

16. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle ABC = 90° $,点 $ D $ 为 $ BC $ 的中点, $ DE \perp AC $ 于点 $ E $,连接 $ BE $. 已知 $ DE = 2 $.
(1) 若 $ \tan C = \frac{1}{2} $,求 $ AB $ 的长.
(2) 若 $ \angle C = 30° $,求 $ \sin \angle BEA $ 的值.

答案：
16.解：
(1)
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°.
∵tan C=$\frac{1}{2}$，DE=2，
∴$\frac{DE}{CE}$=$\frac{1}{2}$，
∴CE=2DE=4，
∴CD=2√5.(2分)
∵点D为BC的中点，
∴BC=2CD=4√5.(3分)
在Rt△ABC中，tan C=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴AB=2√5.(4分)
(2)如图，过点B作BH⊥AC于点H.

∵∠C=30°，DE=2，
∴CD=4，CE=2√3.
∵点D为BC的中点，
∴BC=2CD=8.(6分)
在Rt△BHC，∠C=30°，
∴BH=4，CH=4√3，
∴EH=CH - CE=2√3.(7分)
由勾股定理，得BE=2√7，
∴sin∠BEA=$\frac{BH}{BE}$=$\frac{4}{2\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$.(8分)