《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

15. 教材变式·北师九上 P162T11 如图,在平面直角坐标系中,一次函数 $ y = kx + b $ 的图象分别交 $ x $ 轴、$ y $ 轴于 $ A,B $ 两点,与反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $ 的图象交于 $ C,D $ 两点,$ DE \perp x $ 轴于点 $ E $,已知点 $ C $ 的坐标是 $ (6,-1) $,$ DE = 3 $.
(1) 求反比例函数和一次函数的表达式.
(2) 根据图象直接回答,当 $ x $ 为何值时,一次函数的函数值大于反比例函数的函数值.

答案： 15.解:
(1)点C(6,-1)在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图
象上,
∴m=-6,
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{6}{x}.(2$分)
∵点D在反比例函数$y=-\frac{6}{x}$上,且DE=3,
∴x=-2,
∴点D的坐标为(-2,3).
∵C,D两点在一次函数y=kx+b的图象上,
∴$\begin{cases}6k+b=-1,\\-2k+b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{1}{2},\\b=2,\end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y=-\frac{1}{2}x+2.(5$分)
(2)当x＜-2或0＜x＜6时,一次函数的函数值大于反比例函数的函数值.(8分)

16. 某汽车租赁公司记录:当每辆汽车月租费为 3 000 元时,100 辆汽车可以全部租出,若每辆汽车的月租费每增加 50 元,则将少租出 1 辆汽车.已知每辆租出的汽车需支付月维护费 200 元.
(1) 当每辆汽车月租费为 3 500 元时,则该汽车租赁公司可以租出90辆汽车.
(2) 当每月租出多少辆汽车时,该汽车租赁公司的月收益最大? 最大月收益是多少?

答案： 16.解:
(1)根据题意,得$100-\frac{3500-3000}{50}=100-$
10=90.故答案为90.(3分)
(2)设每月租出x辆汽车时,该汽车租赁公司的月收益是y元.
根据题意,得y=x[3000+50(100-x)]-
$200x=-50(x-78)^2+304200.(6$分)
∵-50＜0,
∴当x=78时,y最大,最大值为304200.
即每月租出78辆汽车时,该汽车租赁公司的月收益最大,最大月收益是304200元.(8分)

17. 如图,在平面直角坐标系中,矩形 $ ABCD $ 的顶点 $ B,C $ 在 $ x $ 轴上,顶点 $ A,D $ 在第一象限,反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象经过点 $ A $,交 $ CD $ 于点 $ E $,$ OB = 2 $,$ AB = 3 $.
(1) 求 $ k $ 的值.
(2) 若点 $ E $ 恰好是 $ DC $ 的中点,求直线 $ AE $ 的函数表达式.

答案： 17.解:
(1)
∵OB=2,AB=3,
∴点A的坐标是(2,3).
把A(2,3)代入$y=\frac{k}{x},$得$3=\frac{k}{2},$
∴k=6.(4分)
(2)
∵点E恰好是DC的中点,
∴点E的纵坐标是$\frac{3}{2}$
当$y=\frac{3}{2}$时$,\frac{3}{2}=\frac{6}{x},$解得x=4,
∴点E的坐标是$(4,\frac{3}{2}).(6$分)
设直线AE的函数表达式为y=kx+b(k≠0).将
点$A(2,3),E(4,\frac{3}{2})$代入y=kx+b,
得$\begin{cases}2k+b=3,\\4k+b=\frac{3}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{3}{4},\\b=\frac{9}{2},\end{cases}$
∴直线AE的函数表达式为$y=-\frac{3}{4}x+\frac{9}{2}.(10$分)