《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

17. 某商场以每件 20 元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量 $ m $ (单位:件) 与每件的售价 $ x $ (单位:元) 满足关系: $ m = 140 - 2x $.
(1) 写出商场销售这种商品每天的销售利润 $ y $ (单位:元) 与每件的售价 $ x $ (单位:元) 间的函数关系式,并写出 $ x $ 的取值范围.
(2) 若商场要使每天获得的利润最大,则每件商品的售价定为多少?

答案： 17.解：
(1)$y = ( x - 2 0 ) ( 1 4 0 - 2 x ) = - 2 x ^ {2} + 1 8 0 x - 2800$.(2分)
∵$x - 2 0 \geq 0$,
∴$x \geq 20$.
又
∵$m \geq 0$,
∴$1 4 0 - 2 x \geq 0 , x \leq 7 0$.
即x的取值范围为$2 0 \leq x \leq 7 0$.(5分)
(2)$y = - 2 x ^ {2} + 1 8 0 x - 2 8 0 0 = - 2 ( x ^ {2} - 9 0 x ) -2800 = - 2 ( x - 4 5 ) ^ {2} + 1 2 5 0$.(7分)
∵-2＜0,
∴当x=45时,$y _ {\max} = 1 2 5 0$.
即每件商品的售价定为45元时，商场每天获
得的利润最大.(10分)

18. 【核心素养·模型观念】如图 1,森林公园的移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线. 如图 2 是喷灌架工作的平面示意图,喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离) 是 0.5 m,当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为 5 m 时,达到最大高度 3 m. 建立如图所示的平面直角坐标系,并设抛物线对应的函数表达式为 $ y = a(x - h)^2 + k $,其中 $ x $ (单位:m) 是水流距喷水头的水平距离,$ y $ (单位:m) 是水流距地面的高度.
(1) 求抛物线对应的函数表达式.
(2) 草坪上距离喷水头水平距离为 8 m 处有一棵高度为 1.4 m 的小树 $ AB $,通过计算判断喷射水流能否恰好经过小树顶端;若不能,喷灌架需向后平移多少距离?

答案： 18.解：
(1)由题可知，抛物线的顶点为(5,3).
设水流形成的抛物线对应的函数表达式为$y =a ( x - 5 ) ^ {2} + 3$.(1分)
将(0,0.5)代入，得$0 . 5 = a ( 0 - 5 ) ^ {2} + 3$，
解得$a = - \frac {1}{10}$，
∴抛物线对应的函数表达式为$y = - \frac {1}{10} ( x - 5 ) ^{2} + 3$.(3分)
(2)当x=8时，$y = - \frac {1}{10} ( 8 - 5 ) ^ {2} + 3 = 2 . 1 ＞ 1 . 4$，
∴喷射水流不能恰好经过小树顶端.(5分)
设喷灌架向后平移了bm，
则平移后的抛物线可表示为$y = - \frac {1}{10} ( x - 5 +b ) ^ {2} + 3$.(6分)
将点B(8,1.4)代入，得$1 . 4 = - \frac {1}{10} ( 8 - 5 + b ) ^{2} + 3$，
解得b=1或b=-7(不合题意，舍去).
答：喷灌架应向后移动1m.(10分)