《2025年大联考单元期末测试卷九年级数学全一册沪科版》

14. 在如图所示的方格纸中,$\triangle O_{1}A_{1}B_{1}$ 与 $\triangle OAB$ 是以点 $P$ 为位似中心的位似图形.
(1) 在图中标出位似中心 $P$ 的位置.
(2) 以原点 $O$ 为位似中心,在第三象限内画出 $\triangle OAB$ 的一个位似图形 $\triangle OA_{2}B_{2}$,使它与 $\triangle OAB$ 的相似比为 $2:1$.

答案：
14.解：
(1)如图所示，点P即为所求.(3分)

(2)如图所示，△OA₂B₂即为所求.(6分)

15. 【核心素养·抽象能力】如图,某数学兴趣小组利用硬纸板自制的 $Rt\triangle ABC$ 来测量操场旗杆 $MN$ 的高度,他们通过调整测量位置,使边 $AC$ 与旗杆顶点 $M$ 在同一直线上,边 $AB$ 与地面平行.已知 $AC = 0.8$ m,$BC = 0.5$ m,点 $A$ 到地面的距离 $AD = 1.5$ m,到旗杆的水平距离 $AE = 20$ m,求旗杆 $MN$ 的高度.

答案： 15.解：根据题意，得∠AEM=90°，AD⊥DN，AD//MN，AE//DN，点B在线段AE上.
∵∠MAE=∠BAC，
∴Rt△MAE∽Rt△BAC，
∴$\frac{ME}{BC}=\frac{AE}{AC}$.
∵AC=0.8m，BC=0.5m，AE=20m，
∴$ME=\frac{AE·BC}{AC}=12.5m$.(5分)
∵AD⊥DN，AD//MN，AE//DN，
∴四边形ADNE为矩形，
∴EN=AD=1.5m，
∴MN=ME+EN=12.5 + 1.5 = 14(m).
答：旗杆MN的高度为14m.(8分)

16. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 3$,$BC = 4$.
(1) 在 $AB$ 上求作一点 $D$,使 $\triangle ABC\backsim\triangle CBD$(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法).
(2) 在(1)的条件下,求 $\triangle ACD$ 的周长.

答案：
16.解：
(1)
∵△ABC∽△CBD，
∴∠CDB=∠ACB=90°.
反之，∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，则△ABC∽△CBD.
如图，过点C作边AB上的垂线，点D即为所求.(4分)

(2)
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=5$，
∴△ABC的周长为3 + 4 + 5 = 12.(6分)
∵△ABC∽△ACD，
∴$\frac{△ABC的周长}{△ACD的周长}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{3}$，
∴△ACD的周长为$\frac{36}{5}$.(8分)