《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版安徽专版》

12. (教材第132页习题第2题变式)分解因式：
(1)$ -x^{2}+12x - 36 $；
(2)$ (m + n)^{2}-6(m + n) + 9 $；
(3)$ 4(a - b)^{2}-12a(a - b) + 9a^{2} $.

答案：
(1)解:原式$=-(x^{2}-12x+36)=-(x-6)^{2}$.
(2)解:原式$=(m+n)^{2}-2(m+n)\cdot3+3^{2}=(m+n-3)^{2}$.
(3)解:原式$=[2(a-b)-3a]^{2}=(2b+a)^{2}$.

13. 【原创题】已知 $ x + 1= \frac{4}{3} $,求多项式 $ (x + 3)^{2}-4(x + 3) + 4 $ 的值.

答案： 解:原式$=(x+3-2)^{2}=(x+1)^{2}$.$\because x+1=\frac{4}{3}$,$\therefore$原式$=\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$.

14. 已知 $ a,b,c $ 为 $ \triangle ABC $ 的三边长,且满足 $ a^{2}+2b^{2}+c^{2}-2b(a + c)= 0 $,试判断 $ \triangle ABC $ 的形状.

答案： 解:$\because a^{2}+2b^{2}+c^{2}-2b(a+c)=0$,$\therefore a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}-2bc+c^{2}=0$,$\therefore (a-b)^{2}+(b-c)^{2}=0$,$\therefore a-b=0$,$b-c=0$,$\therefore a=b$,$b=c$,$\therefore a=b=c$.$\therefore\triangle ABC$是等边三角形.

15. 【核心素养·应用意识】我们把二次三项式 $ ax^{2}+bx + c $ 恒等变形为 $ a·(x + h)^{2}+k $($ h,k $ 为常数)的形式叫作配方.巧妙地运用配方法不仅可以将一个多项式进行因式分解,也能求一个二次三项式的最值,还能结合非负数的意义来解决一些实际问题.
例题：分解因式：$ x^{2}+4x - 5 $.
解：$ x^{2}+4x - 5= x^{2}+4x + 4 - 4 - 5= (x + 2)^{2}-3^{2}= (x + 2 + 3)(x + 2 - 3)= (x + 5)(x - 1) $.
请用配方法解答下列问题：
(1)分解因式：
① $ x^{2}+2x - 3 $.
② $ a^{2}+4ab - 5b^{2} $.
(2)求多项式 $ 2x^{2}-4x + 5 $ 的最小值.
(3)已知 $ a,b,c $ 是 $ \triangle ABC $ 的三边长,且满足 $ a^{2}+b^{2}+c^{2}= ab + bc + ca $,判断 $ \triangle ABC $ 的形状.

答案：
(1)解:①$x^{2}+2x-3=x^{2}+2x+1-1-3=(x+1)^{2}-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)$. ②$a^{2}+4ab-5b^{2}=a^{2}+4ab+4b^{2}-4b^{2}-5b^{2}=(a+2b)^{2}-9b^{2}=(a+2b+3b)(a+2b-3b)=(a+5b)(a-b)$.
(2)$2x^{2}-4x+5=2(x^{2}-2x+1)-2+5=2(x-1)^{2}+3$.$\because (x-1)^{2}\geq0$,故多项式$2x^{2}-4x+5$的最小值为3.
(3)$\because a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+bc+ca$,$\therefore a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=0$,$\therefore 2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2bc-2ab-2ca=0$,$\therefore (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=0$,$\therefore a-b=0$,$b-c=0$,$c-a=0$,$\therefore a=b=c$,$\therefore\triangle ABC$为等边三角形.