《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版安徽专版》

4. 如图,在△ABC中,AD为中线,E为AB上一点,AD,CE交于点F,且AE= EF,求证:AB= CF.

答案： 证明：延长 AD 至点 G,使 DG=AD,连接 CG.易证△ABD≌△GCD.
∴AB=CG,∠G=∠BAD.
∵AE=EF,
∴∠EAF=∠EFA=∠GFC.
∴∠G=∠GFC.
∴CG=CF.
∴AB=CF.

5. 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,且∠B= 2∠C.求证:AB+BD= AC.

答案： 证明：在边 AC 上截取 AP=AB,连接 PD.
∵AD 平分∠BAC,
∴∠BAD=∠PAD.在△ABD 和△APD 中，$\left\{\begin{array}{l} AB=AP,\\ ∠BAD=∠PAD,\\ AD=AD,\end{array}\right.$
∴△ABD≌△APD(SAS),
∴∠B=∠APD,BD=PD.
∵∠B=2∠C,∠APD=∠PDC+∠C,
∴2∠C=∠PDC+∠C,
∴∠PDC=∠C,
∴PD=PC,
∴BD=PC,
∴AB+BD=AP+PC=AC.

6. 如图,在△ABC中,∠BCA= 2∠A,BC= $\frac{1}{2}$AC,求∠ABC的度数.

答案： 解：作∠BCA 的平分线交 AB 于点 E,则∠ECA=∠BCE=$\frac{1}{2}$∠BCA,
∵∠BCA=2∠A,
∴∠ECA=∠A,
∴CE=AE,过点 E 作 ED⊥AC 于点 D,则 CD=AD=$\frac{1}{2}$AC.
∵BC=$\frac{1}{2}$AC,
∴BC=DC,在△BCE 和△DCE 中，$\left\{\begin{array}{l} BC=DC,\\ ∠BCE=∠DCE,\\ CE=CE,\end{array}\right.$
∴△BCE≌△DCE(SAS).
∴∠ABC=∠CDE=90°.