《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版安徽专版》

5. 如图,$\angle C = 90^{\circ}$,$ AC = 10 $,$ BC = 5 $.$ AM \perp AC $,点 $ P $ 和点 $ Q $ 从点 $ A $ 出发,分别在线段 $ AC $ 和射线 $ AM $ 上运动,且点 $ Q $ 运动的速度是点 $ P $ 运动速度的 $ 2 $ 倍. 当点 $ P $ 运动到什么地方时,$\triangle ABC与\triangle QPA$全等? 请说明理由.

答案： 解：当点 P 运动到 AC 的中点处时，△ABC 与△QPA 全等.理由如下：
∵P 为 AC 的中点，
∴AP=1/2AC=5，AQ=2AP=10，
∴BC=AP，AC=QA，在△ABC 和△QPA 中，{CB=AP,∠C=∠PAQ=90°,AC=QA,
∴△ABC≌△QPA(SAS).
∴当点 P 运动到 AC的中点处时，△ABC 与△QPA 全等.

6. 如图 1,点 $ A $,$ B $,$ C $,$ D $ 在同一条直线上,$ AB = CD $,$ DE // AF $,且 $ DE = AF $.
(1)求证:$\triangle AFC \cong \triangle DEB$;
(2)如果将 $ BD $ 沿着 $ AD $ 的方向平移至图 2,3 的位置时,其余条件不变,(1)中的结论是否依然成立? 如果成立,请予以证明;如果不成立,请说明理由.

答案： （1)证明：
∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，即 AC=BD.
∵DE//AF，
∴∠A=∠D.在△AFC 和△DEB中，{AF=DE,∠A=∠D,AC=DB,
∴△AFC≌△DEB(SAS).（2)解：在图 2，3 中结论依然成立.证明：在图 2 中，
∵DE//AF，
∴∠A=∠D.又
∵AF=DE，AC=DB，
∴△AFC≌△DEB(SAS).在图 3 中，
∵AB=CD，
∴AB-BC=CD-BC，即 AC=BD.
∵AF//DE，
∴∠A=∠D.又
∵AF=DE，
∴△AFC≌△DEB(SAS).