《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版安徽专版》

8. 如图,点$P是射线ON$上一动点(即$P可在射线ON$上运动),$\angle AON = 45^{\circ}$。当$\angle A = $45°或67.5°或90°时,$\triangle AOP$为等腰三角形。

答案： 45°或67.5°或90°

9. 如图,下列条件不能推出$\triangle ABC$是等腰三角形的是(C)
A.$\angle B = \angle C$
B.$AD \perp BC$,$\angle BAD = \angle CAD$
C.$AD \perp BC$,$\angle BAD = \angle ACD$
D.$AD \perp BC$,$BD = CD$

答案： C

10. 将一张长方形纸片$ABCD$按图中那样折叠。若$AE = 3$,$AB = 4$,$BE = 5$,则重叠部分的面积为(C)

A.6
B.8
C.10
D.12

答案： C

11. 【原创题】如图,一艘海轮位于灯塔$P的南偏东70^{\circ}方向的点M$处,它以$40海里/h$的速度向正北方向航行,$2h后到达位于灯塔P的北偏东40^{\circ}方向的点N$处,则点$N处与灯塔P$的距离为80海里。

答案： 80

12. 在一次数学课上,王老师在屏幕上出示了一道例题：
如图,在$\triangle ABC$中,$D$,$E分别是AB$,$AC$边上的点,$BE与CD交于点O$,给出下列四个条件：①$\angle DBO = \angle ECO$；②$\angle BDO = \angle CEO$；③$BD = CE$；④$OB = OC$。
(1)要求同学从这四个条件中选出两个作为已知条件,用来判定$\triangle ABC$是等腰三角形。
请你在横线上用序号写出所有情形：①③，①④，②③，②④；
(2)选择(1)中的一种情形,写出证明过程。

答案： （1）①③，①④，②③，②④（2）解：以①④为条件；
∵OB = OC，
∴∠OBC = ∠OCB.
∵∠DBO = ∠ECO，
∴∠DBO + ∠OBC = ∠ECO + ∠OCB，即∠DBC = ∠ECB，
∴AC = AB，即△ABC是等腰三角形.（答案不唯一）

13. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,点$P是线段AC$上一点,过点$A作AB$的垂线,交$BP的延长线于点M$,$MN \perp AC于点N$,$PQ \perp AB于点Q$,$AQ = MN$。求证：
(1)$\triangle APM$是等腰三角形；
(2)$PC = AN$。

答案： （1）证明：
∵BA⊥AM，MN⊥AC，
∴∠BAM = ∠ANM = 90°，
∴∠PAQ + ∠MAN = ∠MAN + ∠AMN = 90°，
∴∠PAQ = ∠AMN.
∵PQ⊥AB，MN⊥AC，
∴∠PQA = ∠ANM = 90°. 在△PQA和△ANM中，{∠PAQ = ∠AMN,AQ = MN,∠PQA = ∠ANM,}
∴△PQA≌△ANM(ASA)，
∴AP = MA，
∴△APM是等腰三角形.（2）由（1）知△PQA≌△ANM，
∴PQ = AN，AP = MA，
∴∠AMB = ∠APM.
∵∠APM = ∠BPC，∠BPC + ∠PBC = 90°，∠AMB + ∠ABM = 90°，
∴∠ABM = ∠PBC.
∵PQ⊥AB，PC⊥BC，
∴PQ = PC，
∴PC = AN.