《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版安徽专版》

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$AC⊥BC,CE⊥AB$,AF平分$∠CAB$交 CE 于点 F,过点 F 作$FD// BC$交 AB 于点 D. 求证:$AC= AD$.

答案：
∵AF平分∠CAB,
∴∠CAF=∠DAF,
∵AC⊥BC,CE⊥AB,
∴∠ACF+∠BCE=90°,∠B+∠BCE=90°,
∴∠ACF=∠B,
∵FD//BC,
∴∠B=∠ADF,
∴∠ACF=∠ADF,在△ACF和△ADF中，{∠ACF=∠ADF,∠CAF=∠DAF,AF=AF,
∴△ACF≌△ADF(AAS),
∴AC=AD.

6. 如图,在四边形 ABCD 中,E 是 CB 上一点,分别延长 AE,DC 相交于点 F,$AB= CF,∠CEA= ∠B+∠F$. 若$BC= 10$,求 BE 的长.

答案： 解：
∵∠CEA是△ABE的外角,
∴∠CEA=∠B+∠EAB.又
∵∠CEA=∠B+∠F,
∴∠EAB=∠F.在△ABE和△FCE中，{∠AEB=∠FEC,∠EAB=∠F,AB=FC,
∴△ABE≌△FCE(AAS).
∴BE=CE.
∵BC=10,
∴BE=5.

7. 如图,$\triangle ABC$的顶点 A,B 和$\triangle DEF$的顶点 D,E 在同一条直线上,且$∠A= ∠EDF,∠C= ∠F$,请再添加一个条件,使得$BC= EF$,并说明理由.

答案： 解：答案不唯一.例如添加的条件为AC=DF.理由：在△ABC和△DEF中，{∠A=∠EDF,AC=DF,∠C=∠F,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
∴BC=EF.

8. 如图,点 A,C,D,B 在同一条直线上,且$AC= BD,∠A= ∠B,∠E= ∠F$.
(1)求证:$\triangle ADE\cong \triangle BCF$.
(2)若$∠BCF= 75^{\circ }$,求$∠CMD$的度数.

答案： （1）证明：
∵AC=BD,
∴AC+CD=BD+CD,即AD=BC.在△ADE和△BCF中，{∠E=∠F,∠A=∠B,AD=BC,
∴△ADE≌△BCF（AAS）. （2）解：
∵△ADE≌△BCF，
∴∠ADE=∠BCF=75°.
∴∠CMD=180°-∠BCF-∠ADE=30°.