《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版安徽专版》

11.【分类讨论思想】在$\triangle ABC$中,$\angle ABC = \angle C$,$BD是AC$边上的高,$\angle ABD = 30^{\circ}$,则$\angle C$的度数为60°或30°。

答案： 60°或30°

12. 如图,$\angle A = 35^{\circ}$,$\angle ABD = 85^{\circ}$,$\angle D = 55^{\circ}$,则$\angle DCA$的度数是(D)

A.$25^{\circ}$
B.$35^{\circ}$
C.$55^{\circ}$
D.$65^{\circ}$

答案： D

13.(湖南省中考改编)如图,在$\triangle ABC$中,若$DE// BC$,$FG// AC$,$\angle BDE = 120^{\circ}$,$\angle DFG = 115^{\circ}$,则$\angle C$的度数为55°。

答案： 55°

14.【真实问题情境】如图,直线$a$,$b$相交所成的角跑到画板外面了,某同学发现只要量出画板的边$l分别与直线a$,$b$相交所形成的角的度数就可求得该角。已知$\angle 1 = 71^{\circ}$,$\angle 2 = 78^{\circ}$,则直线$a$,$b$相交所形成的锐角的度数为______。

31°

答案： 31°

15. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B = \angle C$,$D为边BC$上一点(点$D不与点B$,$C$重合),$E为边AC$上一点,$\angle ADE = \angle AED$,$\angle BAC = 44^{\circ}$。
(1)求$\angle C$的度数；
(2)若$\angle ADE = 75^{\circ}$,求$\angle CDE$的度数。

答案： （1）解：在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-44°=136°.
∵∠B=∠C，
∴2∠C=136°，解得∠C=68°. （2）
∵∠AED=∠ADE=75°，
∴∠CED=180°-∠AED=180°-75°=105°.由（1）知∠C=68°.在△CDE中，∠CDE=180°-∠CED-∠C=180°-105°-68°=7°.

16.【核心素养·模型观念】如图①,线段$AB$,$CD相交于点O$,连接$AD$,$CB$。如图②,在图①的条件下,$\angle DAB和\angle BCD的平分线AP和CP相交于点P$,并且与$CD$,$AB分别相交于点M$,$N$。试解答下列问题：
(1)在图①中,请直接写出$\angle A$,$\angle B$,$\angle C$,$\angle D$之间的数量关系：∠A+∠D=∠B+∠C；
(2)在图②中,若$\angle D = 50^{\circ}$,$\angle B = 40^{\circ}$,试求$\angle P$的度数(写出解答过程)；
解：由（1）得∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，
∴∠1-∠3=∠P-∠D，∠2-∠4=∠B-∠P.又
∵AP，CP分别平分∠DAB和∠BCD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∴∠P-∠D=∠B-∠P，即2∠P=∠B+∠D.
∴∠P=$\frac{1}{2}$(50°+40°)=45°.
(3)如果图②中$\angle D和\angle B$为任意角,其他条件不变,试写出$\angle P与\angle D$,$\angle B$之间的数量关系(直接写出结论)。
2∠P=∠B+∠D

答案： （1）∠A+∠D=∠B+∠C （2）解：由（1）得∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，
∴∠1-∠3=∠P-∠D，∠2-∠4=∠B-∠P.又
∵AP，CP分别平分∠DAB和∠BCD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∴∠P-∠D=∠B-∠P，即2∠P=∠B+∠D.
∴∠P=$\frac{1}{2}$(50°+40°)=45°. （3）2∠P=∠B+∠D.