《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版安徽专版》

10. 若$n$为正整数,则$(2n + 1)^2 - (2n - 1)^2$的值(B)
A.一定能被 6 整除
B.一定能被 8 整除
C.一定能被 10 整除
D.一定能被 12 整除

答案： B

11. 计算$(2x - 1)(1 - 2x)$结果是$-4x^{2}+4x-1$。

答案： $-4x^{2}+4x-1$

12. 如果一个正方形的边长均减少$3cm$,它的面积就减少$39cm^2$,那么这个正方形的边长为8cm。

答案： 8

13. 计算：
(1)$(-\frac{1}{4}x - 8y)^2$；
(2)$(a + b)^2 - (a - b)^2$；
(3)$201^2 - 198×202$。(简便计算)

答案：
(1)解:原式$=\frac{1}{16}x^{2}+4xy+64y^{2}$.
(2)解:原式$=a^{2}+2ab+b^{2}-(a^{2}-2ab+b^{2})=a^{2}+2ab+b^{2}-a^{2}+2ab-b^{2}=4ab$.
(3)解:原式$=(200+1)^{2}-(200-2)(200+2)=200^{2}+400+1-200^{2}+4=405$.

14. (成都市期末)先化简,再求值：$[(2a + b)^2 - (2a + b)(2a - b)]÷2b$,其中$a = 2$,$b = -1$。

答案： 解:原式$=[4a^{2}+4ab+b^{2}-(4a^{2}-b^{2})]÷2b=(4a^{2}+4ab+b^{2}-4a^{2}+b^{2})÷2b=(4ab+2b^{2})÷2b=2a+b$,当$a=2,b=-1$时,原式$=2×2-1=3$.

15. 已知$x^2 + 2x - 2 = 0$,求代数式$x(x + 2) + (x + 1)^2$的值。

答案： 解:$\because x^{2}+2x-2=0$,$\therefore x^{2}+2x=2$,$\therefore x(x+2)+(x+1)^{2}=x^{2}+2x+x^{2}+2x+1=2+2+1=5$.

16. (安徽省中考)观察以下等式：
第 1 个等式：$(2×1 + 1)^2 = (2×2 + 1)^2 - (2×2)^2$,
第 2 个等式：$(2×2 + 1)^2 = (3×4 + 1)^2 - (3×4)^2$,
第 3 个等式：$(2×3 + 1)^2 = (4×6 + 1)^2 - (4×6)^2$,
第 4 个等式：$(2×4 + 1)^2 = (5×8 + 1)^2 - (5×8)^2$,
……
按照以上规律,解决下列问题：
(1)写出第 5 个等式：$(2×5+1)^{2}=(6×10+1)^{2}-(6×10)^{2}$；
(2)写出你猜想的第$n$个等式(用含$n$的式子表示),并验证。
解:第n个等式:$(2n+1)^{2}=[(n+1)\cdot2n+1]^{2}-[(n+1)\cdot2n]^{2}$.验证:左边$=4n^{2}+4n+1$,右边$=[(n+1)\cdot2n]^{2}+2(n+1)\cdot2n+1^{2}-[(n+1)\cdot2n]^{2}=4n^{2}+4n+1$,所以左边=右边,即等式成立.

答案：
(1)$(2×5+1)^{2}=(6×10+1)^{2}-(6×10)^{2}$
(2)解:第n个等式:$(2n+1)^{2}=[(n+1)\cdot2n+1]^{2}-[(n+1)\cdot2n]^{2}$.验证:左边$=4n^{2}+4n+1$,右边$=[(n+1)\cdot2n]^{2}+2(n+1)\cdot2n+1^{2}-[(n+1)\cdot2n]^{2}=4n^{2}+4n+1$,所以左边=右边,即等式成立.