《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版安徽专版》

1. 用简便方法计算：
(1)$199^{2}$；
(2)$(2 + 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1) + 1$.

答案： 1.
(1)解:原式=(200-1)²=200²-2×200+1=40000-400+1=39601.
(2)解:原式=(2-1)(2+1)(2²+1)(2⁴+1)+1=(2²-1)(2²+1)(2⁴+1)+1=(2⁴-1)(2⁴+1)+1=2⁸-1+1=256.

2. (长沙市中考)先化简,再求值：$2m - m(m - 2) + (m + 3)(m - 3)$,其中$m= \frac{5}{2}$.

答案： 2. 解:原式=2m-m²+2m+m²-9=4m-9.
∵m=5/2,
∴原式=4×5/2-9=1.

3. 当$x = 1$时,$ax + b + 1的值为-3$,求$(a + b + 1)(1 - a - b)$的值.

答案： 3. 解:(a+b+1)(1-a-b)=[1+(a+b)][1-(a+b)]=1-(a+b)².当x=1时,ax+b+1=a+b+1=-3,
∴a+b=-4.
∴原式=1-(-4)²=-15.

4. 如果$(a + b)^{2} = 16$,$(a - b)^{2} = 4$,且$a$,$b$是长方形的长和宽,那么这个长方形的面积是3.

答案： 4. 3

5. 已知$a + b = 8$,$a^{2}b^{2} = 4$,则$\frac{a^{2} + b^{2}}{2} - ab= $28或36.

答案： 5. 28或36

6. 已知$x^{2} + y^{2} = 34$,$x + y = 2$,求$xy和x - y$的值.

答案： 6. 解:
∵x²+y²=34,x+y=2,x²+y²=(x+y)²-2xy,
∴34=2²-2xy,
∴xy=-15.
∴(x-y)²=x²-2xy+y²=34-2×(-15)=64.
∴x-y=±8.

7. 已知$(a + b)^{2} = 5$,$(a - b)^{2} = 3$,求下列式子的值：
(1)$a^{2} + b^{2}$；
(2)$6ab$.

答案： 7.
(1)解:
∵(a+b)²=5,(a-b)²=3,
∴a²+2ab+b²=5,a²-2ab+b²=3.
∴a²+2ab+b²+a²-2ab+b²=2(a²+b²)=8.
∴a²+b²=4.
(2)
∵a²+b²=4,(a+b)²=5,
∴a²+2ab+b²=4+2ab=5,
∴ab=1/2,
∴6ab=3.

8. 发现：任意三个连续偶数的平方和是$4$的倍数.
(1)$(-2)^{2} + 0^{2} + 2^{2}的结果是4$的几倍？
(2)设三个连续偶数的中间一个数为$2x$,写出它们的平方和,并说明是$4$的倍数；
(3)任意三个连续数的平方和,设中间一个为$x$,被$3$除余数是几？请直接写出结果.

答案： 8.
(1)解:(-2)²+0²+2²=4+4=8,8÷4=2,
∴是4的2倍.
(2)若三个连续偶数的中间一个数为2x,则另外两个偶数分别为2x-2和2x+2,平方和为(2x-2)²+(2x)²+(2x+2)²=4x²-8x+4+4x²+4x²+8x+4=12x²+8=4(3x²+2),
∴其平方和是4的倍数.
(3)被3除余数是2.