《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版安徽专版》

1. 如图,$AB= DC,AC= DB$.
(1)求证:$\triangle ABC\cong \triangle DCB$;
(2)若$∠A= 90^{\circ },∠DBC= 35^{\circ }$,求$∠ABD$的度数.

答案： （1）证明：在△ABC和△DCB中，{AB=DC,AC=DB,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB（SSS）. （2）解：
∵△ABC≌△DCB，
∴∠DBC=∠ACB，
∵∠DBC=35°,
∴∠ACB=∠DBC=35°.
∵在Rt△ABC中，∠A=90°,
∴∠ABC=90°-∠ACB=90°-35°=55°.
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=55°-35°=20°.

2. 如图,在$\triangle ABC$中,点 D 是 BC 的中点,$DE⊥AB$于点 E,$DF⊥AC$于点 F,且$DE= DF$.求证:
(1)$BE= FC$;
(2)$AB= AC$.

答案： （1）证明：
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠DEB=∠DFC=90°.又
∵D是BC的中点,
∴BD=DC.又
∵DE=DF,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
∴BE=FC. （2）连接AD.
∵DE=DF,AD=AD,
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),
∴AE=AF,由（1）知BE=FC,
∴AE+BE=AF+FC,即AB=AC.

3. 如图,已知$AB= CD,AB// CD$,E,F 是 AC 上两点,且$AF= CE$. 求证:$\triangle ABE\cong \triangle CDF$.

答案： 证明：
∵AB//CD,
∴∠A=∠DCF.
∵AF=CE,
∴AF-EF=CE-EF,即AE=CF.在△ABE和△CDF中，{AB=CD,∠A=∠DCF,AE=CF,
∴△ABE≌△CDF(SAS).

4. 如图,在四边形 ABCD 中,点 E 在 AD 上,$∠BCE= ∠ACD= 90^{\circ },∠1= ∠D,BC= CE$. 求证:$AC= CD$.

答案： 证明：
∵∠BCE=∠ACD=90°,即∠3+∠4=∠4+∠2,
∴∠3=∠2.在△ABC和△DEC中，{∠1=∠D,∠3=∠2,BC=EC,
∴△ABC≌△DEC（AAS）,
∴AC=CD.