《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版安徽专版》

11. 【原创题】如图,$AD是△ABC$的高,$E为AC$上一点,$BE交AD于点F$,且$BF = AC$,$FD = CD$。试判断$BE与AC$的位置关系。

答案： 解:BE⊥AC,理由如下:
∵AD是△ABC的高,
∴∠BDF=∠ADC=90°.在Rt△BDF和Rt△ADC中，{BF=AC,FD=CD,
∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL).
∴∠DBF=∠DAC.
∵∠DAC+∠C=∠BDF=90°,
∴∠AEB=∠DBF+∠C=90°.
∴BE⊥AC.

12. 如图,已知$AE⊥BC$,$DF⊥BC$,垂足分别为$E$,$F$,$AE = DF$,$AB = DC$。求证：
(1)$∠ABE = ∠DCF$；
(2)$AC = DB$。

答案：
(1)证明:在Rt△ABE和Rt△DCF中，{AB=DC,AE=DF,
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL),
∴∠ABE=∠DCF.
(2)由
(1)得∠ABE=∠DCF,在△ABC和△DCB中，{AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB(SAS),
∴AC=DB.

13. 【核心素养·推理能力】
(1)母题：如图①,在$△ABC$中,$∠ACB = 90^{\circ}$。点$D在△ABC$外,连接$AD$,作$DF⊥AB交AB于点E$,交$BC于点F$,$AD = AB$,$AE = AC$,连接$AF$。求证：$DF = BC + CF$；
(2)类比探究：如图②,$AB = AD$,$AC = AE$,$∠ACB = ∠AED = 90^{\circ}$,延长$BC交DE于点F$,写出$DF$,$BC$,$CF$之间的数量关系,并证明你的结论。

答案：
(1)证明:
∵DE⊥AB,∠ACB=90°,
∴∠AED=∠AEF=∠ACB=90°.在Rt△ACF和Rt△AEF中，{AF=AF,AC=AE,
∴Rt△ACF≌Rt△AEF(HL),
∴CF=EF.在Rt△ADE和Rt△ABC中，{AD=AB,AE=AC,
∴Rt△ADE≌Rt△ABC(HL),
∴DE=BC,
∴DF=DE+EF=BC+CF.
(2)BC=CF+DF.证明如下:连接AF.在Rt△ABC和Rt△ADE中，{AB=AD,AC=AE,
∴Rt△ABC≌Rt△ADE(HL),
∴BC=DE.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACF=90°=∠AED.在Rt△ACF和Rt△AEF中，{AF=AF,AC=AE,
∴Rt△ACF≌Rt△AEF(HL),
∴CF=EF.
∵DE=EF+DF,
∴BC=CF+DF.