《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版安徽专版》

1. 如图,在△ABC中,BC= 8cm,BP,CP分别平分∠ABC和∠ACB,且PD//AB,PE//AC,求△PDE的周长.

答案： 解：
∵ BP,CP 分别平分∠ABC 和∠ACB,
∴∠ABP=∠PBD,∠ACP=∠PCE,
∵ PD//AB,PE//AC,
∴∠ABP=∠BPD,∠ACP=∠CPE,
∴∠PBD=∠BPD,∠PCE=∠CPE,
∴ BD=PD,CE=PE,
∴$C_{△PDE}=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=8(cm).$

2. 如图,在△ABC中,AB= AC,∠A= 90°,BE是角平分线,CD⊥BE交BE的延长线于点D.求证:BE= 2CD.

答案： 证明：延长 BA,CD 相交于点 Q.
∵∠CAQ=∠BDQ=90°,
∴∠ACQ+∠Q=90°,∠ABE+∠Q=90°.
∴∠ACQ=∠ABE.在△ABE 和△ACQ 中，$\left\{\begin{array}{l} ∠ABE=∠ACQ,\\ AB=AC,\\ ∠BAE=∠CAQ,\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ACQ(ASA).
∴BE=CQ.
∵BD 平分∠ABC,∠BDC=∠BDQ=90°,
∴∠Q=∠BCQ.
∴BQ=BC.又
∵BD⊥CQ,
∴CD=DQ.
∴BE=CQ=2CD.

3. 如图,E在△ABC的边AC的延长线上,D点在AB边上,DE交BC于点F,DF= EF,BD= CE.求证:△ABC是等腰三角形.

答案： 证明：过点 D 作 DG//AC 交 BC 于点 G,则∠GDF=∠E,∠DGB=∠ACB.在△GDF 和△CEF 中，$\left\{\begin{array}{l} ∠GDF=∠E,\\ DF=EF,\\ ∠DFG=∠EFC,\end{array}\right.$
∴△GDF≌△CEF(ASA),
∴GD=CE.
∵BD=CE,
∴BD=GD,
∴∠B=∠DGB=∠ACB,
∴AB=AC,
∴△ABC 是等腰三角形.