《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版安徽专版》

1. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90^{\circ} $, $ \angle A = 30^{\circ} $, $ BC = 3 $,则 $ AB $ 的长为(B)

A.9
B.6
C.4.5
D.3

答案： B

2. 如图,一棵树在一次台风中于离地面 4m 处折断倒下,倒下部分与地面成 $ 30^{\circ} $ 夹角,这棵树在折断前的高度为12m.

答案： 12

3. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90^{\circ} $, $ \angle B = 30^{\circ} $, $ AB $ 的垂直平分线 $ ED $ 交 $ AB $ 于点 $ E $,交 $ BC $ 于点 $ D $. 若 $ CD = 3 $,则 $ BD $ 的长为6.

答案： 6

4. 如图所示, $ \angle C = 90^{\circ} $, $ \angle A = 30^{\circ} $, $ BD \perp AD $ 于点 $ D $, $ DC // AB $, $ AB = 10cm $,求 $ DC $ 的长.

答案： 解：
∵ BD⊥AD，∠A=30°，
∴∠ABD=60°，BD= $\frac{1}{2}$AB= $\frac{1}{2}$×10=5(cm).
∵∠C=90°，DC//AB，
∴∠CBA=180°-∠C=90°，
∴∠CBD=∠CBA-∠ABD=30°，
∴CD= $\frac{1}{2}$BD= $\frac{1}{2}$×5= $\frac{5}{2}$(cm).

5. 【分类讨论思想】如图所示,在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90^{\circ} $, $ \angle A = 30^{\circ} $, $ AB = 8 $. 若点 $ D $ 在直线 $ AB $ 上(不与点 $ A $, $ B $ 重合),且 $ \angle BCD = 30^{\circ} $,则 $ AD $ 的长为6 或 12.

答案： 6 或 12

6. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle B = \angle C = 60^{\circ} $,点 $ D $ 为 $ AB $ 边的中点, $ DE \perp BC $,若 $ BE = 1 $,则 $ AC $ 的长为(C)

A.2
B.3
C.4
D.6

答案： C

7. 如图, $ OP $ 平分 $ \angle AOB $, $ \angle AOP = 15^{\circ} $, $ PC // OA $, $ PD \perp OA $ 于点 $ D $. 若 $ PC = 4 $,则线段 $ PD $ 的长为2.

答案： 2

8. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90^{\circ} $, $ \angle B = 30^{\circ} $, $ BC = 6 $, $ AD $ 平分 $ \angle CAB $ 交 $ BC $ 于点 $ D $,点 $ E $ 为边 $ AB $ 上一点,则线段 $ DE $ 长度的最小值为2.

答案： 2

9. 如图, $ \triangle ABC $ 为等边三角形, $ AE = CD $, $ AD $, $ BE $ 相交于点 $ P $, $ BQ \perp AD $ 于点 $ Q $, $ PQ = 3 $, $ PE = 1.5 $.
(1)求证： $ BE = AD $；
(2)求 $ AD $ 的长.

答案：
(1)证明：
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=AC. 在△ABE 和△CAD 中，$\left\{\begin{array}{l} AB=CA,\\ ∠BAE=∠C,\\ AE=CD,\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CAD(SAS)，
∴BE=AD.
(2)解：由
(1)知，△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BAD+∠ABE=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，
∴∠BPQ=∠BAP+∠ABP=60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=90°-∠BPQ=90°-60°=30°，
∴PB=2PQ=6，
∴BE=PB+PE=6+1.5=7.5，
∴AD=BE=7.5.