《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版安徽专版》

9. “任意一个个位数字是$5$的自然数,平方后的末两位数(即十位数字和个位数字组成的两位数)一定是$25$”. 这一结论可用下面的方法进行证明.
解：设个位数字是$5的自然数为10a + 5$($a$为自然数),则$(10a + 5)^{2} = 100a^{2} + 100a + 25 = 100(a^{2} + a) + 25$.
这说明平方后的末两位数一定是$25$.
请你探索下面的问题：“任意一个末两位数是$25$的自然数,平方后的末三位数(即依次由百位、十位和个位数字组成的三位数)一定是多少?”并给出证明.

答案： 9. 解:平方后的末三位数一定是625.证明:设末尾数字是25的自然数为100a+25(a为自然数),则(100a+25)²=10000a²+5000a+625=1000(10a²+5a)+625.这说明平方后的末三位数一定是625.

10. 【数形结合】两个边长分别为$a和b$的正方形($a ＞ b$)如图放置(图①②③),若图①,②,③中阴影部分的面积分别记为$S_{1}$,$S_{2}$,$S_{3}$.
(1)用含$a$,$b的式子分别表示S_{1}$,$S_{2}$,$S_{3}$；
(2)若$S_{1} = 1$,$S_{3} = 3$,求$S_{2}$的值；
(3)若对于任意的正数$a$,$b$,都有$S_{1} + mS_{3} = kS_{2}$($m$,$k$为常数),求$m$,$k$的值.

答案： 10.
(1)解:S₁=(a-b)²;S₂=(a²+b²)-[1/2a²+1/2(a+b)b]=1/2a²-1/2ab+1/2b²;S₃=1/2ab.
(2)当S₁=1,S₃=3时,{(a-b)²=1,1/2ab=3,解得ab=6,a²+b²=13.
∴1/2a²+1/2b²=13/2,1/2ab=3,
∴S₂=1/2a²-1/2ab+1/2b²=13/2-3=7/2.
(3)
∵对于任意的正数a,b,都有S₁+mS₃=kS₂(m,k为常数),
∴(a-b)²+m(1/2ab)=k(1/2a²-1/2ab+1/2b²),整理得2(a²+b²)+ab(m-4)=(a²+b²)k+ab(-k).
∵m,k为常数,
∴由待定系数法得k=2,m-4=-k,解得m=2,k=2.