《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版安徽专版》

8. 到$\triangle ABC的三条边距离相等的点是\triangle ABC$的(B)
A.三条中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条高所在直线的交点
D.以上均不对

答案： B

9. 如图,若$DE\perp AB$,$DF\perp AC$,则对于$\angle 1和\angle 2$的大小关系,下列说法正确的是(D)

A.一定相等
B.当$BD = CD$时相等
C.一定不相等
D.当$DE = DF$时相等

答案： D

10. 如图,$O是\triangle ABC$内一点,且$O到\triangle ABC三边AB$,$BC$,$CA的距离OF = OD = OE$.若$\angle BAC = 70^{\circ}$,则$\angle BOC = $125°.

答案： 125°

[变式]如图,已知在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$I为\triangle ABC$各内角平分线的交点,过点$I作BC$的垂线,垂足为点$H$.若$BC = 6$,$AC = 8$,$AB = 10$,则$IH$的长为2.

答案： 2

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC的平分线与外角\angle ACE的平分线相交于点P$,$PD\perp AC于点D$,$PH\perp BA于点H$.
(1)若$PH = 8cm$,求点$P到直线BC$的距离；
(2)求证：点$P在\angle HAC$的平分线上.

答案：
(1)解:作PQ⊥BE于点Q,
∵BP 平分∠ABC,
∴PH=PQ=8cm.即点P到直线BC的距离为8cm.
(2)证明:
∵CP平分∠ACE,
∴PD =PQ.而PH=PQ,
∴PD=PH.又
∵PD⊥AC,PH⊥AH.
∴点P 在∠HAC的平分线上.

12. 【核心素养·几何直观】如图,$DE\perp AB于点E$,$DF\perp AC于点F$,$BD = CD$,$BE = CF$.
(1)求证：$AD平分\angle BAC$；
(2)猜想$AB + AC与AE$之间的等量关系,并给予证明.

答案：
(1)证明:
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠E=∠DFC=∠AFD=90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中，{BD=CD,BE=CF},
∴Rt△BDE≌Rt △CDF(HL),
∴DE=DF,
∴AD 平分∠BAC.
(2)解:AB+AC=2AE.证明如下:
∵AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠CAD.在△AED和△AFD中，{∠EAD=∠FAD,∠E=∠AFD,AD=AD},
∴△AED≌△AFD(AAS),
∴AE=AF,
∴AB +AC=AE−BE+AF+CF=AE +AF=AE+AE=2AE,即AB+AC=2AE.