《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版安徽专版》

核心素养小专题(三)(教材变式拓展类) 与三角形角平分线有关的计算
教材母题:(教材第 22 页复习题第 8 题)如图,在△ABC 中,BE,CF 是角平分线,且 BE,CF 相交于点 G. 求证:
(1)∠BGC = 180° - $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB);
(2)∠BGC = 90° + $\frac{1}{2}$∠A.

答案： 1. 证明$(1)$：
解：因为$BE$，$CF$是角平分线，所以$\angle GBC=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle GCB = \frac{1}{2}\angle ACB$。
在$\triangle BGC$中，根据三角形内角和定理$\angle BGC+\angle GBC+\angle GCB = 180^{\circ}$。
则$\angle BGC=180^{\circ}-\angle GBC - \angle GCB$。
把$\angle GBC=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle GCB=\frac{1}{2}\angle ACB$代入上式得：$\angle BGC = 180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ABC-\frac{1}{2}\angle ACB=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB)$。
2. 证明$(2)$：
解：在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和定理$\angle A+\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}$，所以$\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}-\angle A$。
由$(1)$知$\angle BGC = 180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)$。
把$\angle ABC + \angle ACB=180^{\circ}-\angle A$代入$\angle BGC = 180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)$中，得$\angle BGC=180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)$。
展开式子：$\angle BGC=180^{\circ}-90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A$。
所以$\angle BGC = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A$。

1. 如图,在△ABC 中,P 是∠ABC,∠ACB 的平分线的交点.
(1)若∠A = 80°,求∠BPC 的度数;
(2)有位同学在解答(1)后得出∠BPC = 90° + $\frac{1}{2}$∠A 的规律,你认为正确吗? 请说明理由.

答案： 1.
(1)解:
∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=$\frac{1}{2}$×(180°−80°)=50°.
∴∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°−50°=130°.
(2)正确.理由如下:
∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=90°−$\frac{1}{2}$∠A.
∴∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)=180°−(90°−$\frac{1}{2}$∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A.

2.【一题多设问】如图,在△ABC 中,BE 是∠ABC 的平分线,CE 是外角∠ACM 的平分线,BE 与 CE 相交于点 E.
(1)若∠ABC = 50°,∠ACB = 60°,求∠E 的度数;
(2)若∠A = 60°,求∠E 的度数;
(3)根据(1)(2)的结论,请直接写出∠E 与∠A 之间的数量关系.

答案： 2.
(1)解:
∵∠ACB=60°,
∴∠ACM=180°−∠ACB=120°.
∵BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=25°,∠ECM=$\frac{1}{2}$∠ACM=60°.
∵∠ECM=∠EBC +∠E,
∴∠E=∠ECM−∠EBC=60°−25°=35°.
(2)
∵∠ACM=∠ABC+∠A,CE是外角∠ACM的平分线，
∴∠ECM=$\frac{1}{2}$∠ACM=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠A).又
∵∠ECM=∠EBC+∠E,BE是∠ABC的平分线,
∴∠E=∠ECM−∠EBC=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠A)−$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠A=30°.
(3)∠E=$\frac{1}{2}$∠A.