《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版安徽专版》

12. 【新考法】已知 $a$,$b$,$c$ 是 $\triangle ABC$ 的三边长,则 $(a - c)^{2}-b^{2}$ 的值为(B)
A.正数
B.负数
C.非正数
D.非负数

答案： B

13. (教材第 129 页第 2 题变式)分解因式：
(1) $-\frac{49}{64}+\frac{1}{100}a^{2}b^{2}$；
(2) $(y + 3x)^{2}-(x + 3y)^{2}$.

答案：
(1)解:原式=$\left(\frac{1}{10}ab\right)^2-\left(\frac{7}{8}\right)^2=\left(\frac{1}{10}ab+\frac{7}{8}\right)\left(\frac{1}{10}ab-\frac{7}{8}\right)$.
(2)解:原式=(y+3x+x+3y)(y+3x-x-3y)=(4x+4y)(2x-2y)=8(x+y)(x-y).

14. (贵阳市期末)下面是一道例题及部分解答过程,其中 $A$,$B$ 是两个关于 $x$,$y$ 的二项式.
______.
请仔细观察上面的例题及解答过程,完成下列问题：
(1) 直接写出多项式 $A$ 和 $B$,并求出该例题的运算结果；
(2) 求多项式 $A$ 与 $B$ 的平方差.
(1)解:A=2x-3y,B=2x+3y.原式=4x-6y-6x-9y=-2x-15y.
(2)$A^2-B^2=(2x-3y)^2-(2x+3y)^2=(2x-3y+2x+3y)(2x-3y-2x-3y)=4x\cdot(-6y)=-24xy$.

答案：
(1)解:A=2x-3y,B=2x+3y.原式=4x-6y-6x-9y=-2x-15y.
(2)$A^2-B^2=(2x-3y)^2-(2x+3y)^2=(2x-3y+2x+3y)(2x-3y-2x-3y)=4x\cdot(-6y)=-24xy$.

15. 【核心素养·推理能力】如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差,那么称这个正整数为“奇特数”,例如：$8 = 3^{2}-1^{2}$,$16 = 5^{2}-3^{2}$,$24 = 7^{2}-5^{2}$,则 $8$,$16$,$24$ 这三个数都是“奇特数”.
(1) $32$ 和 $2026$ 这两个数是“奇特数”吗？若是,表示成两个连续奇数的平方差形式.
(2) 设两个连续奇数是 $2n - 1$ 和 $2n + 1$(其中 $n$ 取正整数),由这两个连续奇数构造的“奇特数”是 $8$ 的倍数吗？为什么？
(3) 两个连续偶数的平方差(取正数)是“奇特数”吗？为什么？

答案：
(1)解:32是“奇特数”,2026不是“奇特数”.32=9²-7².
(2)由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数,理由如下:
∵(2n+1)²-(2n-1)²=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n,
∴由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数.
(3)两个连续偶数的平方差(取正数)不是“奇特数”,理由如下:设这两个连续偶数分别为2n+2和2n,其中n为自然数,则(2n+2)²-(2n)²=(2n+2+2n)(2n+2-2n)=4(2n+1).
∵4(2n+1)不是8的倍数,
∴两个连续偶数的平方差(取正数)不是“奇特数”.