《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版安徽专版》

10. 对于任意整数$m$,多项式$(4m + 5)^{2}-49$都能(A)
A.被8整除
B.被$m$整除
C.被$(m - 3)$整除
D.被$(2m + 1)$整除

答案： A

11. (广西自治区中考改编)如果$a + b = 3$,$ab = 1$,那么$a^{3}b + 2a^{2}b^{2}+ab^{3}$的值为9.

答案： 9

12. (教材第132页练习第1题变式)分解因式：
(1)$4ab^{2}-4a^{2}b - b^{3}$；
(2)$x^{2}(a - 1)+y^{2}(1 - a)$；
(3)$(x - 1)(x - 3)+1$.

答案：
(1)解:原式=-b³+4ab²-4a²b=-b(b²-4ab+4a²)=-b(b-2a)².
(2)解:原式=x²(a-1)-y²(a-1)=(a-1)(x²-y²)=(a-1)(x+y)(x-y).
(3)解:原式=x²-4x+3+1=x²-4x+4=(x-2)².

13. 【原创题】已知$x + y = 3$,$x - y = -2$,求$(x^{2}+y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}$的值.

答案： 解:(x²+y²)²-4x²y²=(x²+2xy+y²)(x²-2xy+y²)=(x+y)²(x-y)².将x+y=3,x-y=-2代入,得原式=3²×(-2)²=9×4=36.

14. 【分组分解法】阅读下列材料：
分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法,但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解,如$m^{2}-2mn + n^{2}-16$,我们细心观察这个式子就会发现,前三项符合完全平方公式,进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解.
过程如下：$m^{2}-2mn + n^{2}-16= (m - n)^{2}-16= (m - n + 4)(m - n - 4)$,这种分解因式的方法叫分组分解法.
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
(1)用“分组分解法”分解因式：$a^{2}-2ab + b^{2}+a - b$；
(2)已知$a$,$b$,$c为\triangle ABC$的三边长,且$b^{2}-2ac = c^{2}-2ab$,试判断$\triangle ABC$的形状.

答案：
(1)解:原式=(a-b)²+(a-b)=(a-b)(a-b+1).
(2)
∵b²-2ac=c²-2ab,
∴b²-c²-2ac+2ab=0,即(b+c)(b-c)+2a(b-c)=0,
∴(b-c)(b+c+2a)=0,
∵a,b,c为△ABC的三边长,
∴b+c+2a＞0,
∴b-c=0,
∴b=c,
∴△ABC为等腰三角形.