《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版安徽专版》

1. 如图,$\triangle ABC和\triangle ADE$都是等边三角形,点$B在ED$的延长线上.
(1) 求证：$\triangle ABD\cong\triangle ACE$；
(2) 若$AE = 2$,$CE = 3$,求$BE$的长.

答案： 1.
(1)证明:
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°.
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中，{AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE}，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)解:由
(1)知△ABD≌△ACE，
∴BD=CE=3.
∵△ADE是等边三角形，
∴DE=AE=2.
∴BE=BD+DE=3 +2=5.

2. 如图,$\triangle ACB和\triangle DCE$均为等腰直角三角形,$CA = CB$,$CD = CE$,$\angle ACB = \angle DCE = 90^{\circ}$,点$A$,$D$,$E$在同一条直线上,$CM为\triangle DCE的边DE$上的高,连接$BE$,求证：$AE = BE + 2CM$.

答案： 2.证明:
∵CA=CB，CD=CE，∠ACB =∠DCE=90°，
∴∠ACB−∠BCD =∠DCE−∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE.
∵CD=CE，CM⊥DE，∠DCE=90°，
∴DM=ME，∠CDE =∠CED=∠DCM=45°，
∴DM=ME=CM.
∴AE=AD+DE=BE+2CM.

3. 如图,在$\triangle ABC和\triangle AEF$中,$AB = AC$,$AE = AF$,$\angle BAC = \angle EAF$,$EC的延长线交BF于点D$.
(1) 求证：$\triangle ABF\cong\triangle ACE$；
(2) 过点$A作AH\perp BD于点H$,求证：$BH + CD = HD$.

答案：
3.
(1)证明:
∵∠BAC=∠EAF，
∴∠BAF=∠CAE.在△ABF和△ACE中，{AB=AC，∠BAF=∠CAE，AF=AE}，
∴△ABF≌△ACE(SAS).
(2)如图 ，连接AD，过点A作AJ⊥DE于点J.
∵△ABF≌△ACE，
∴S△ABF=S△ACE，BF=CE.
∵AH⊥BF，AJ⊥EC，
∴$\frac{1}{2}$·BF·AH=$\frac{1}{2}$·CE·AJ.
∴AH=AJ.在Rt△AHD和Rt△AJD中，{AD=AD，AH=AJ}，
∴Rt△AHD≌Rt△AJD(HL).
∴DH=DJ.在Rt△AHB和Rt△AJC中，{AB=AC，AH=AJ}，
∴Rt△AHB≌Rt△AJC(HL).
∴BH=CJ.
∴BH+CD=CJ+DC=DJ=HD.