《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版安徽专版》

6. 如图,在$CD上求一点P$,使它到$OA$,$OB$的距离相等,则点$P$是 (C)

A.线段$CD$的中点
B.$CD与过点O作CD$的垂线的交点
C.$CD与\angle AOB$的平分线的交点
D.以上都不对

答案： C

7. 如图,已知$\triangle ABC的周长是20cm$,$BO$,$CO分别平分\angle ABC和\angle ACB$,$OD\perp BC于点D$. 若$OD = 3cm$,则$\triangle ABC$的面积为30cm².

答案： 30cm²

8. 如图,$PB\perp AB$,$PC\perp AC$,且$PB = PC$,$D是AP$上一点. 求证：$\angle BDP = \angle CDP$.

答案： 证明:$\because PB⊥AB$，$PC⊥AC$，$PB = PC$，$\therefore AP$平分$∠BAC$，即$∠BAP=∠CAP$。$\because ∠BAP + ∠BPA=90^{\circ }$，$∠CAP + ∠CPA=90^{\circ }$，$\therefore ∠BPA=∠CPA$。在△PBD和△PCD中，$\left\{\begin{array}{l} PB=PC\\ ∠BPD=∠CPD\\ PD=PD\end{array}\right.$，$\therefore △PBD\cong △PCD(SAS)$，$\therefore ∠BDP=∠CDP$。

9. 如图,已知$\angle C = \angle D$,$AC = AD$,增加下列条件,其中不能使$\triangle ABC\cong \triangle AED$的条件是 (A)

A.$AB = AE$
B.$BC = ED$
C.$\angle 1 = \angle 2$
D.$\angle B = \angle E$

答案： A

10. 在$\triangle ABC和\triangle A'B'C'$中,$AB = A'B'$,$AC = A'C'$,$\angle C = 60^{\circ}$,$AD$,$A'D'分别是BC和B'C'$边上的高,且$AD = A'D'$,则$\angle C'$的度数是60°或120°.

答案： 60°或120°

11. 【新考法】如图,画$\angle AOB = 90^{\circ}$,并画$\angle AOB的平分线OC$.
(1)将三角尺的直角顶点落在$OC上的任意一点P$处,使三角尺的两条直角边与$\angle AOB$的两边分别垂直,垂足分别为$E$,$F$(如图 ①),则$PE$=$PF$；(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)
(2)把三角尺绕着点$P$旋转(如图 ②),两直角边分别与$OA$,$OB交于点E$,$F$,试猜想$PE与PF$的大小关系,并说明理由.

(2)解:$PE = PF$，理由如下:过点P作$PM⊥OA$于点M，$PN⊥OB$于点N，则$∠PME=∠PNF = 90^{\circ }$，$\because ∠AOB = 90^{\circ }$，OC平分$∠AOB$，$\therefore ∠AOC=∠BOC = 45^{\circ }$，$PM = PN$，$\therefore ∠OPM=∠OPN = 45^{\circ }$，$\therefore ∠MPN = 90^{\circ }$。$\because ∠EPF = 90^{\circ }$，$\therefore ∠MPE=∠NPF$，在△MPE和△NPF中，$\left\{\begin{array}{l} ∠MPE=∠NPF\\ PM=PN\\ ∠PME=∠PNF\end{array}\right.$，$\therefore △MPE\cong △NPF(ASA)$，$\therefore PE = PF$。

答案：
(1)=
(2)解:$PE = PF$，理由如下:过点P作$PM⊥OA$于点M，$PN⊥OB$于点N，则$∠PME=∠PNF = 90^{\circ }$，$\because ∠AOB = 90^{\circ }$，OC平分$∠AOB$，$\therefore ∠AOC=∠BOC = 45^{\circ }$，$PM = PN$，$\therefore ∠OPM=∠OPN = 45^{\circ }$，$\therefore ∠MPN = 90^{\circ }$。$\because ∠EPF = 90^{\circ }$，$\therefore ∠MPE=∠NPF$，在△MPE和△NPF中，$\left\{\begin{array}{l} ∠MPE=∠NPF\\ PM=PN\\ ∠PME=∠PNF\end{array}\right.$，$\therefore △MPE\cong △NPF(ASA)$，$\therefore PE = PF$。