《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版安徽专版》

12. 图①是某野营餐桌使用的一种鱼眼垫片,其示意图如图②,已知$D = 14.8$毫米,$d = 5.2$毫米,则这个鱼眼垫片底部圆环的面积为48π平方毫米.

答案： 48π

13. 用简便方法计算：$999×118\frac{4}{5}+333×(-\frac{3}{5})-999×18\frac{3}{5}$.

答案： 解:原式$=999×118\frac {4}{5}+999×(-\frac {1}{5})-999×18\frac {3}{5}=999×(118\frac {4}{5}-\frac {1}{5}-18\frac {3}{5})=999×100=99900.$

14. 下列因式分解中正确的是(D)
A.$(x + 1)^{2}+2(x + 1)+1= (x + 1 + 1)^{2}$
B.$m^{4}-8m^{2}+16= (m^{2}-4)^{2}$
C.$\frac{1}{9}a^{2}b^{4}-\frac{2}{3}ab^{3}+b^{2}= (\frac{1}{3}ab^{2}-b)^{2}$
D.$m^{4}-1= (m^{2}+1)(m + 1)(m - 1)$

答案： D

15. 【新定义型阅读理解题】如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”,如：$4 = 2^{2}-0^{2}$,$12 = 4^{2}-2^{2}$,$20 = 6^{2}-4^{2}$,因为$4$,$12$,$20$都是“神秘数”.
(1)$36$是(填“是”或“不是”)“神秘数”；
(2)证明：“神秘数”一定是$4$的倍数；
证明:设较小的偶数为2k,则较大的偶数为$2k+2.\therefore (2k+2)^{2}-(2k)^{2}=8k+4=4(2k+1).\because k$为正整数,$\therefore 2k+1$为正整数.
∴"神秘数"一定是4的倍数.
(3)$2000$是“神秘数”吗？请说明理由.
解:2000不是"神秘数".理由:假设2000是"神秘数",由
(2)得$4(2k+1)=2000$.解得$k=249.5.\because k$不是整数,
∴假设不成立.
∴2000不是"神秘数".

答案：
(1)是
(2)证明:设较小的偶数为2k,则较大的偶数为$2k+2.\therefore (2k+2)^{2}-(2k)^{2}=8k+4=4(2k+1).\because k$为正整数,$\therefore 2k+1$为正整数.
∴"神秘数"一定是4的倍数.
(3)解:2000不是"神秘数".理由:假设2000是"神秘数",由
(2)得$4(2k+1)=2000$.解得$k=249.5.\because k$不是整数,
∴假设不成立.
∴2000不是"神秘数".

16. 【大单元整合】先阅读下面的材料,再解决问题.
若$m^{2}+2mn + 2n^{2}-6n + 9 = 0$,求$m和n$的值.
解：$\because m^{2}+2mn + 2n^{2}-6n + 9 = 0$,
$\therefore (m^{2}+2mn + n^{2})+(n^{2}-6n + 9)= 0$.
$\therefore (m + n)^{2}+(n - 3)^{2}= 0$.
$\therefore m + n = 0$,$n - 3 = 0$.
$\therefore m = - 3$,$n = 3$.
问题：
(1)若$x^{2}+2y^{2}-2xy + 4y + 4 = 0$,求$x^{2}+y^{2}$的值；
(2)已知等腰三角形$ABC的三边长分别为a$,$b$,$c$,其中$a$,$b满足a^{2}+b^{2}+45 = 12a + 6b$,求$\triangle ABC$的周长.

答案：
(1)解:由$x^{2}+2y^{2}-2xy+4y+4=0$,得$(x^{2}-2xy+y^{2})+(y^{2}+4y+4)=0$,即$(x-y)^{2}+(y+2)^{2}=0.\therefore x-y=0,y+2=0.\therefore x=y=-2.\therefore x^{2}+y^{2}=(-2)^{2}+(-2)^{2}=4+4=8$.
(2)由$a^{2}+b^{2}+45=12a+6b$,得$(a^{2}-12a+36)+(b^{2}-6b+9)=0$,即$(a-6)^{2}+(b-3)^{2}=0.\therefore a-6=0,b-3=0$,解得$a=6,b=3$.①若$c=6$,则$△ABC$的周长为$6+6+3=15$; ②若$c=3,\because 3+3=6$,
∴不能构成三角形,此种情况不存在,综上所述,$△ABC$的周长是15.