《2025年课堂点睛八年级数学上册人教版安徽专版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD平分\angle BAC交BC于点D$,$BE \perp AD于点E$. 探究$\angle ABE$,$\angle DBE$,$\angle C$之间的数量关系.

答案： 解:延长 BE 交 AC 于点 F,
∵AD 平分∠BAC,
∴∠BAE=∠FAE.又
∵AE=AE,∠AEB=∠AEF=90°,
∴△ABE≌△AFE(ASA),
∴∠ABE=∠AFE,
∵∠AFE=∠DBE+∠C,
∴∠ABE=∠DBE+∠C.

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B = 60^{\circ}$,$\angle BAC与\angle BCA的平分线AD$,$CE分别交BC和AB于点D$,$E$,$AD与CE相交于点F$,求证：$AE + CD = AC$.

答案： 证明：
∵∠B=60°,
∴∠BAC+∠BCA=180°-60°=120°,
∵AD,CE 分别平分∠BAC 与∠BCA,
∴∠FAC=$\frac{1}{2}$∠BAC,∠FCA=$\frac{1}{2}$∠BCA,
∴∠FAC+∠FCA=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠BCA)=$\frac{1}{2}$×120°=60°,
∴∠AFC=120°,∠AFE=60°,在 AC 上截取 AG=AE,连接 GF,
∵AD,CE 分别平分∠BAC 与∠BCA,
∴∠FAE=∠FAG,∠FCG=∠FCD,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴∠AFG=∠AFE=60°,
∴∠CFG=∠CFD=60°,
∴△CDF≌△CGF(ASA),
∴CD=CG,
∴AE+CD=AG+CG=AC.
∴AE+CD=AC.

3. 如图,$\triangle ABC$中,$D为BC$的中点.
(1) 求证：$AB + AC ＞ 2AD$；
(2) 若$AB = 5$,$AC = 3$,求$AD$的取值范围.

答案：
(1)证明:延长 AD 至 E,使 DE=AD,连接 BE.
∵D 为 BC 的中点,
∴BD=CD.在△ADC 和△EDB 中,$\left\{\begin{array}{l} AD=ED,\\ ∠ADC=∠EDB,\\ CD=BD,\end{array}\right. $
∴△ADC≌△EDB(SAS).
∴AC=BE.在△ABE 中,AB+BE＞AE,
∴AB+AC＞2AD.
(2)解:
∵AB=5,AC=3,
∴5-3＜2AD＜5+3.
∴1＜AD＜4.

4. 【大单元整合】已知在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC$,将$\triangle ABC$放在平面直角坐标系中,如图所示.
(1) 如图①,若$A(1,0)$,$B(0,3)$,求$C$点坐标.
(2) 如图②,若$A(1,3)$,$B(-1,0)$,则$C$点坐标为(4,1).

答案：
(1)解:作 CD⊥x 轴于点 D.则∠CAD+∠ACD=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAO+∠CAD=90°,
∴∠BAO=∠ACD.在△ABO 和△CAD 中,$\left\{\begin{array}{l} ∠AOB=∠ADC=90°,\\ ∠BAO=∠ACD,\\ AB=AC,\end{array}\right. $
∴△ABO≌△CAD(AAS),
∴BO=AD,OA=CD.
∵A(1,0),B(0,3),
∴OA=1,OB=3,
∴AD=3,CD=1,
∴OD=OA+AD=4,
∴C(4,1).
(2)(4,1)