《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册人教版》

7. 如图$24 - 2 - 35$,已知$\triangle ABC内接于\odot O$,$BC是\odot O$的直径,$MN与\odot O$相切,切点为$A$.若$\angle MAB = 30^{\circ}$,则$\angle B = $60$^{\circ}$.

答案： 60

8. 如图$24 - 2 - 36$,$PA$,$PB分别切\odot O于点A$,$B$.若$\angle P = 70^{\circ}$,则$\angle C$的大小为55°.

答案： 55°

9. 如图$24 - 2 - 37$,$\odot O经过菱形的三个顶点A$,$D$,$C$,且与$AB相切于点A$.
(1)求证：$BC为\odot O$的切线；
(2)求$\angle B$的度数.

答案：

(1)证明:如图 D-24-3,连接 AO,CO,BO.
因为 AB 是$\odot O$的切线,所以$OA\perp AB$.所以$\angle BAO=90^{\circ}$.
因为四边形 ABCD 是菱形,所以$AB=BC$.
因为$AO=CO$,$BO=BO$,
所以$\triangle BAO\cong \triangle BCO(SSS)$.
所以$\angle BCO=\angle BAO=90^{\circ}$,
即$OC\perp BC$.所以 BC 为$\odot O$的切线.
(2)解:如图 D-24-3,连接 OD.由菱形、圆的对称性知,B,O,D 三点共线.
因为四边形 ABCD 是菱形,所以$AB=AD$.
所以$\angle ABO=\angle ADO$.
因为$OA=OD$,所以$\angle OAD=\angle ODA$.
所以$\angle AOB=2\angle ADO=2\angle ABO$.
因为$\angle ABO+\angle AOB=90^{\circ}$,
所以$\angle ABO+2\angle ABO=90^{\circ}$.
所以$\angle ABO=30^{\circ}$.
所以$\angle ABC=2\angle ABO=2× 30^{\circ}=60^{\circ}$.

10. 如图$24 - 2 - 38$,在$Rt\triangle AOB$中,$\angle AOB = 90^{\circ}$,以点$O$为圆心,$OA长为半径的圆交AB于点C$,点$D在边OB$上,且$CD = BD$.
(1)判断直线$CD与\odot O$的位置关系,并说明理由；
(2)若$\frac{OC}{CD} = \frac{24}{7}$,$OB = 32$,求$\odot O$的半径.

答案：
(1)直线 CD 与$\odot O$相切,理由如下:
因为$OA=OC$,$CD=BD$,
所以$\angle A=\angle ACO$,$\angle B=\angle DCB$.
因为$\angle AOB=90^{\circ}$,
所以$\angle A+\angle B=90^{\circ}$,
所以$\angle ACO+\angle DCB=90^{\circ}$,
所以$\angle OCD=90^{\circ}$,
所以$OC\perp CD$.
又因为 OC 为半径,
所以 CD 是$\odot O$的切线,
所以直线 CD 与$\odot O$相切.
(2)解:因为$\frac{OC}{CD}=\frac{24}{7}$,
所以设$CD=7x=DB$,则$OC=24x=OA$.
因为$\angle OCD=90^{\circ}$,
所以$OD=\sqrt{OC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{576x^{2}+49x^{2}}=25x$,
所以$OB=32x$.
因为$OB=32$,
所以$x=1$,
所以$OA=OC=24$,
所以$\odot O$的半径为 24.