《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册人教版》

13. 根据下列条件求二次函数的表达式：
(1) 图象经过点 $ (-1,3) $,$ (1,3) $,$ (2,6) $；
(2) 图象的顶点坐标为 $ (-1,9) $,且与 $ y $ 轴交于点 $ (0, - 8) $；
(3) 图象的对称轴是直线 $ x = 1 $,与 $ x $ 轴的一个交点为 $ (-2,0) $,与 $ y $ 轴交于点 $ (0,12) $；
(4) 图象的顶点坐标是 $ (2, - 5) $,且过原点；
(5) 图象与 $ x $ 轴的交点坐标分别是 $ (-1,0) $,$ (-3,0) $,且函数有最小值 $ - 5 $；
(6) 当 $ x = 2 $ 时,函数的最大值是 $ 1 $,且图象与 $ x $ 轴的两个交点之间的距离为 $ 2 $.

答案：
(1)$y=x^{2}+2$.
(2)$y=-17(x+1)^{2}+9$.
(3)$y=-\frac {3}{2}x^{2}+3x+12$.
(4)$y=\frac {5}{4}(x-2)^{2}-5$.
(5)$y=5x^{2}+20x+15$.
(6)$y=-x^{2}+4x-3$.

14. (选做题)已知二次函数 $ y = \frac{1}{4}x^{2} - \frac{5}{2}x + 6 $ 的图象与 $ x $ 轴从左到右的两个交点依次为 $ A $,$ B $,与 $ y $ 轴交于点 $ C $.
(1) 求 $ A $,$ B $,$ C $ 三点的坐标.
(2) 如果 $ P(x,y) $ 是抛物线 $ AC $ 之间的动点,$ O $ 为坐标原点,试求 $ \triangle POA $ 的面积 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数关系式,并写出自变量 $ x $ 的取值范围.
(3) 在抛物线上是否存在这样的点 $ P $,使 $ PO = PA $？若存在,求出点 $ P $ 的坐标；若不存在,请说明理由.

答案：
(1)$A(4,0),B(6,0),C(0,6)$.
(2)$S=\frac {1}{2}x^{2}-5x+12(0＜x＜4)$.
(3)存在,点P的坐标为$(2,2).$