《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册人教版》

15. 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$BC = 5$ cm,$AC = 12$ cm,以点$C$为圆心,作半径为$R$ cm 的圆。
(1) 当$R$为何值时,$\odot C和直线AB$相离？
(2) 当$R$为何值时,$\odot C和直线AB$相切？
(3) 当$R$为何值时,$\odot C和直线AB$相交？

答案： 1. 首先求$AB$的长度：
根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$，已知$BC = 5\mathrm{cm}$，$AC = 12\mathrm{cm}$，则$AB=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{144 + 25}=\sqrt{169}=13\mathrm{cm}$。
设点$C$到直线$AB$的距离为$d$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot d$。
因为$S=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×12×5 = 30\mathrm{cm}^{2}$，又$S=\frac{1}{2}AB\cdot d$，$AB = 13\mathrm{cm}$，所以$d=\frac{AC\cdot BC}{AB}$。
把$AC = 12\mathrm{cm}$，$BC = 5\mathrm{cm}$，$AB = 13\mathrm{cm}$代入$d=\frac{AC\cdot BC}{AB}$，得$d=\frac{12×5}{13}=\frac{60}{13}\mathrm{cm}$。
2. 然后根据直线与圆的位置关系：
设圆的半径为$R$，圆心到直线的距离为$d$。当$d\gt R$时，直线与圆相离；当$d = R$时，直线与圆相切；当$d\lt R$时，直线与圆相交。
（1）当$\odot C$和直线$AB$相离时：
因为$d\gt R$，$d=\frac{60}{13}\mathrm{cm}$，所以$0\lt R\lt\frac{60}{13}$。
（2）当$\odot C$和直线$AB$相切时：
因为$d = R$，$d=\frac{60}{13}\mathrm{cm}$，所以$R=\frac{60}{13}$。
（3）当$\odot C$和直线$AB$相交时：
因为$d\lt R$，$d=\frac{60}{13}\mathrm{cm}$，所以$R\gt\frac{60}{13}$。
综上，（1）$0\lt R\lt\frac{60}{13}$；（2）$R = \frac{60}{13}$；（3）$R\gt\frac{60}{13}$。

16. 如图 24 - 2 - 8,$A城气象台测得台风中心在A$城正西方向 300 km 的$B$处,并以每小时$10\sqrt{7}$ km 的速度向北偏东$60^{\circ}的BF$方向移动。距台风中心 200 km 的范围是受台风影响的区域。
(1)$A$城是否会受到这次台风的影响？为什么？
(2) 若$A$城受到这次台风的影响,试计算$A$城遭受这次台风影响的时间。

答案： 解:
(1)受影响.理由:过点A作AM⊥BF,垂足为点M.因为∠MBA=30°,所以AM=$\frac{1}{2}$AB=150(km)＜200(km),所以A城会受到这次台风的影响.
(2)以A为圆心,200 km为半径作圆,交BF于点C和点C'.因为距台风中心200 km的范围是受台风影响的区域,所以AC=AC'=200 km,根据垂径定理可计算出,CC'=100$\sqrt{7}$ km,所以A城遭受这次台风影响的时间为$\frac{100\sqrt{7}}{10\sqrt{7}}$=10(h).

17. (选做题)如图 24 - 2 - 9,直线$AB$,$CD相交于点O$,$\angle AOD = 30^{\circ}$,半径为 1 cm 的$\odot P的圆心在直线AB$上,且与点$O$的距离为 6 cm。如果$\odot P$以 1 cm/s 的速度沿由$A向B$的方向移动,那么多少秒后$\odot P与直线CD$相切？

答案： 解:因为OP=6 cm,所以当点P在OA上时,需要运动(6-2)÷1=4(s);当点P在OB上时,需要运动(6+2)÷1=8(s).