《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册人教版》

17. 如图 24 - 1 - 18,$\odot O的直径AB和弦CD相交于点E$,$AE = 2$,$EB = 6$,$\angle DEB = 30^{\circ}$,求弦$CD$的长。

答案： $2\sqrt{15}$.

18. 如图 24 - 1 - 19,$AB为\odot O$的直径,$CD为\odot O$的弦,过点$C$,$D分别作CN\perp CD$,$DM\perp CD$,分别交$AB于点N$,$M$。请问：图中的$AN与BM$是否相等？说明理由。

答案： 解:$AN=BM$.理由:过点 O 作$OP\perp CD$于点 P.由垂径定理,得$PC=PD$.又因为$CN\perp CD$,$DM\perp CD$,所以$DM// OP// CN$(垂直于同一条直线的两直线平行). 又$PC=PD$,所以$OM=ON$(平行线分线段成比例). 又$OA=OB$, 所以$OA-ON=OB-OM$,即$AN=BM$.

19. (选做题)如图 24 - 1 - 20,$A$,$B是半圆O$上的两点,$CD是\odot O$的直径,$\angle AOD = 80^{\circ}$,$B是\overset{\frown}{AD}$的中点。
(1)在$CD上求作一点P$,使$AP + PB$的值最小；
(2)若$CD = 4cm$,求$AP + PB$的最小值。

答案：
解$:$　　
$(1)$如图　　

$(2)$解：延长$AO$交圆于$E，$连接$OB′，$$B′E$　　
∵$BB′⊥CD$　　
∴$\widehat{BD}=\widehat{B′D}$　　
∵$∠AOD=80°，$$B$是$\widehat{AD}$的中点　　
∴$∠DOB′=\frac{1}{2}∠AOD=40°$　　
∴$∠AOB′=∠AOD+∠DOB′=120°$　　
又
∵$OA=OB′$　　
∴$∠A=\frac{180°-∠AOB′}{2}=30°$　　
∵$AE$是圆的直径　　
∴$∠AB′E=90°$　　
∴直角$△AEB′$中　　
$B′E=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}×4=2$　　
∴$AB′=\sqrt{A{E}^{2}-B′{E}^{2}}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}cm$