《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册人教版》

15. 周老师说：“两个连续偶数的平方和为 $100$,求这两个数.”小明说：“这两个数是 $6$ 和 $8$.”小凌说：“这两个数是 $-8$ 和 $-6$.”你认为他们的说法正确吗？

答案： 解:他们的说法都不完全正确.设这两个连续偶数分别为x,x+2.根据题意,得$x^2+(x+2)^2=100$.整理得,$x^2+2x-48=0$,$a=1$,$b=2$,$c=-48$,则$b^2-4ac=2^2-4×1×(-48)=196＞0$,所以$x=\frac{-2\pm\sqrt{196}}{2×1}=\frac{-2\pm14}{2}$,$x_1=6$,$x_2=-8$.当x=6时,x+2=8;当x=-8时,x+2=-6.所以这两个连续偶数是6,8或-6,-8.

16. (选做题)如图 21 - 2 - 1,四边形 $ACDE$ 是证明勾股定理时用到的一个图形,$a$,$b$,$c$ 是 $Rt\triangle ABC$ 和 $Rt\triangle BDE$ 的三边长. 已知 $AE= \sqrt{2}c$. 这时把形如 $ax^{2}+\sqrt{2}cx + b = 0$ 的方程称为关于 $x$ 的“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题：
(1)构造一个“勾系一元二次方程”：$4x^2+5\sqrt{2}x+3=0$；
(2)求证：关于 $x$ 的“勾系一元二次方程 $ax^{2}+\sqrt{2}cx + b = 0$”必有实数根.
证明:因为$\Delta=(\sqrt{2}c)^2-4ab=2c^2-4ab=2a^2+2b^2-4ab=2(a-b)^2\geqslant0$,所以关于x的"勾系一元二次方程$ax^2+\sqrt{2}cx+b=0$"必有实数根.

答案：
(1)$4x^2+5\sqrt{2}x+3=0$(满足$a^2+b^2=c^2$即可)(答案不唯一)
(2)证明:因为$\Delta=(\sqrt{2}c)^2-4ab=2c^2-4ab=2a^2+2b^2-4ab=2(a-b)^2\geqslant0$,所以关于x的"勾系一元二次方程$ax^2+\sqrt{2}cx+b=0$"必有实数根.

1. 方程 $x^{2}-3x = 0$ 的解为(D).
A.$x = 0$
B.$x = 3$
C.$x_{1}= 0,x_{2}= -3$
D.$x_{1}= 0,x_{2}= 3$

答案： D

2. 方程 $x(x - 2)+x - 2 = 0$ 的根是(D).
A.$2$
B.$-2,1$
C.$-1$
D.$2,-1$

答案： D

3. 关于 $x$ 的方程 $(x - m)(x + n)= 0$ 的两根是(B).
A.$x_{1}= m,x_{2}= n$
B.$x_{1}= m,x_{2}= -n$
C.$x_{1}= -m,x_{2}= n$
D.$x_{1}= -m,x_{2}= -n$

答案： B

4. 方程 $2x(x + 3)+5(3 + x)= 3 + x$ 的根是(C).
A.$x = 2$
B.$x = 3$
C.$x_{1}= -2,x_{2}= -3$
D.$x_{1}= 2,x_{2}= -3$

答案： C