《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册人教版》

12. 阅读材料：
材料1. 若一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$的两根分别为$x_{1},x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}= -\frac{b}{a}$,$x_{1}x_{2}= \frac{c}{a}$。
材料2. 已知实数$m,n满足m^{2}-m - 1 = 0$,$n^{2}-n - 1 = 0$,且$m\neq n$,求$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值。
解：由题知$m,n是方程x^{2}-x - 1 = 0$的两个不相等的实数根,根据材料1得$m + n = 1$,$mn = -1$,所以$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}= \frac{m^{2}+n^{2}}{mn}= \frac{(m + n)^{2}-2mn}{mn}= \frac{1 + 2}{-1}= -3$。
根据上述材料解决下面问题：
(1)材料理解：一元二次方程$x^{2}-3x - 2 = 0$的两个根分别为$x_{1},x_{2}$,则$x_{1}+x_{2}=$3,$x_{1}x_{2}=$-2。
(2)初步体验：已知一元二次方程$x^{2}-3x - 1 = 0$的两个根分别为$m,n$,求$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值。
因为一元二次方程x²-3x-1=0的两个根分别为m,n,所以m+n=3,mn=-1,所以n/m+m/n=(m²+n²)/mn=((m+n)²-2mn)/mn=(3²-2×(-1))/(-1)=-11.
(3)类比应用：已知实数$s,t满足s^{2}-3s - 1 = 0$,$t^{2}-3t - 1 = 0$,且$s\neq t$,求$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}$的值。
由题意得,实数s,t是方程x²-3x-1=0的两个不相等的实数根,所以s+t=3,st=-1,所以(s-t)²=(s+t)²-4st=3²-4×(-1)=13,所以s-t=±√13,所以1/s-1/t=(t-s)/st=(±√13)/(-1)=±√13.
(4)思维拓展：已知实数$p,q满足p^{2}-3p - 2 = 0$,$2q^{2}-3q - 1 = 0$,且$p\neq2q$,求$p^{2}+4q^{2}$的值。
设p=2t,则由p≠2q知t≠q.因为p²-3p-2=0,所以4t²-6t-2=0,所以2t²-3t-1=0.又因为2q²-3q-1=0,所以t,q是方程2x²-3x-1=0的两个不相等的实数根,所以t+q=3/2,tq=-1/2,所以p²+4q²=4t²+4q²=4(t²+q²)=4[(t+q)²-2tq]=4[(3/2)²-2×(-1/2)]=13.

答案：
(1)因为一元二次方程x²-3x-2=0
的两个根分别为x₁,x₂,
所以x₁+x₂=3,x₁x₂=-2,
故答案为3 -2.
(2)因为一元二次方程x²-3x-1=0的两个
根分别为m,n,
所以m+n=3,mn=-1,
所以n/m+m/n
=(m²+n²)/mn
=((m+n)²-2mn)/mn
=(3²-2×(-1))/(-1)
=-11.
(3)由题意得,实数s,t是方程x²-3x-1=0
的两个不相等的实数根,所以s+t=3,st=-1,
所以(s-t)²=(s+t)²-4st=3²-4×(-1)=13,
所以s-t=±√13,
所以1/s-1/t=(t-s)/st=(±√13)/(-1)=±√13.
(4)设p=2t,则由p≠2q知t≠q.
因为p²-3p-2=0,
所以4t²-6t-2=0,
所以2t²-3t-1=0.
又因为2q²-3q-1=0,
所以t,q是方程2x²-3x-1=0的两个不相等
的实数根,
所以t+q=3/2,tq=-1/2,
所以p²+4q²
=4t²+4q²
=4(t²+q²)
=4[(t+q)²-2tq]
配套综合练习 数学 九年级上册
=4[(3/2)²-2×(-1/2)]
=13.

1. 用配方法解下列方程,其中应在左、右两边都加 4 的是(C).
A.$ x^{2}-2x = 5 $
B.$ 2x^{2}-4x = 5 $
C.$ x^{2}+4x = 5 $
D.$ x^{2}+2x = 5 $

答案： C

2. 方程 $ x(x - 1) = x $ 的根是(D).
A.$ x = 2 $
B.$ x = -2 $
C.$ x_{1} = -2,x_{2} = 0 $
D.$ x_{1} = 2,x_{2} = 0 $

答案： D