《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册人教版》

15. 已知关于 $ x $ 的方程 $ ax^{2} - (1 - 3a)x + 2a - 1 = 0 $.
(1)当 $ a $ 取何值时,二次函数 $ y = ax^{2} - (1 - 3a)x + 2a - 1 $ 的图象的对称轴是直线 $ x = -2 $？
(2)求证：$ a $ 取任何实数时,关于 $ x $ 的方程 $ ax^{2} - (1 - 3a)x + 2a - 1 = 0 $ 总有实数根.

答案：
(1)解:a=-1.
(2)证明:当a=0时，方程为x=-1,有一个实数根;当a≠0时,Δ=(1-3a)²-4a(2a-1)=a²-2a+1=(a-1)²≥0,方程有实数根,所以a取任何实数时，关于x的方程ax²-(1-3a)x+2a-1=0总有实数根.

16.(选做题)如图 22-2-11,抛物线 $ y = -x^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A,B $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,其中 $ B(1,0),C(0,3) $.
(1)求抛物线的表达式.
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点 $ P $,使得 $ \triangle APC $ 的面积最大？若存在,请直接写出点 $ P $ 的坐标和 $ \triangle APC $ 的面积的最大值；若不存在,请说明理由.
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答案： 解:
(1)将B(1,0),C(0,3)的坐标分别代入y=-x²+bx+c中, {-1+b+c=0,　　　解得{b=-2, c=3,　　　　　　　c=3, 所以抛物线的表达式为y=-x²-2x+3.
(2)令y=0,则0=-x²-2x+3, 解得:x₁=-3,x₂=1. 所以A(-3,0).所以OA=3. 因为C(0,3),所以OC=3. 过点P作PE⊥x轴于点E,如图D-22-1, 设P(x,-x²-2x+3),且在第二象限内,即-3＜x＜0, 所以OE=-x,AE=3+x,PE=-x²-2x+3. 所以S△APC=S△APE+S梯形PCOE-S△AOC =1/2×AE×PE+1/2(OC+PE)×OE-1/2×OA×OC =1/2×(3+x)(-x²-2x+3)+1/2(3-x²-2x+3)(-x)-1/2×3×3 =-3/2x²-9/2x=-3/2(x+3/2)²+27/8. 因为-3＜-3/2＜0,所以S△APC有最大值, 即当x=-3/2时,S△APC有最大值,最大值为27/8. 此时点P的坐标为(-3/2,15/4).

1. 下列关系可看作二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $ 模型的是(D).
A.在一定距离内,汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B.我国人口年平均增长率为 $ 0.5\% $,这样我国人口总数随年份的变化关系
C.圆的周长与半径之间的关系
D.竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)

答案： D