《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册人教版》

17. 如图 24-1-42,已知$AB = AC$,$∠APC = 60°$.
(1)求证：$\triangle ABC$是等边三角形；
(2)若$BC = 4\ cm$,求⊙O 的面积.

答案： 1. （1）证明：
因为$\angle ABC=\angle APC = 60^{\circ}$（同弧所对的圆周角相等），又$AB = AC$。
根据有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形，所以$\triangle ABC$是等边三角形。
2. （2）解：
因为$\triangle ABC$是等边三角形，$BC = 4cm$，$\angle BAC=60^{\circ}$，$AB = AC = BC = 4cm$。
因为$AB = AC$，所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，圆心$O$在$\angle BAC$的平分线上（垂径定理的推论：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧），即$AO$平分$\angle BAC$，所以$\angle OAC = 30^{\circ}$。
连接$OC$，设$\odot O$的半径为$R$，在$Rt\triangle ODC$中（过$O$作$OD\perp AC$于$D$，$D$为$AC$中点，$AD=\frac{1}{2}AC = 2cm$），$\cos\angle OAC=\frac{AD}{OA}$。
因为$\angle OAC = 30^{\circ}$，$AD = 2cm$，$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AD}{R}$（$OA = R$），则$R=\frac{2}{\cos30^{\circ}}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}cm$。
根据圆的面积公式$S=\pi R^{2}$，所以$S=\pi×(\frac{4\sqrt{3}}{3})^{2}=\frac{16\pi}{3}cm^{2}$。
综上，（1）得证；（2）$\odot O$的面积为$\frac{16\pi}{3}cm^{2}$。

18. (选做题)如图 24-1-43,$\triangle ABC$是⊙O 的内接三角形,点 C 是优弧 AB 上一点(点 C 不与点 A,B 重合),设$∠OAB = \alpha$,$∠C = \beta$.
(1)当$\alpha = 35°$时,求 $\beta$ 的度数；
(2)猜想 $\alpha$ 与 $\beta$ 之间的关系,并给予证明.

答案： 1. （1）
解：连接$OB$。
因为$OA = OB$（同圆半径相等），$\angle OAB=\alpha = 35^{\circ}$，所以$\angle OBA=\angle OAB = 35^{\circ}$。
根据三角形内角和定理$\angle AOB=180^{\circ}-\angle OAB - \angle OBA$，则$\angle AOB=180^{\circ}-35^{\circ}-35^{\circ}=110^{\circ}$。
又因为同弧所对的圆周角是圆心角的一半，$\angle C=\beta$，$\angle C$与$\angle AOB$分别是弧$AB$所对的圆周角和圆心角，所以$\beta=\frac{1}{2}\angle AOB$。
所以$\beta = 55^{\circ}$。
2. （2）
猜想：$\alpha+\beta = 90^{\circ}$。
证明：连接$OB$。
因为$OA = OB$，所以$\angle OBA=\angle OAB=\alpha$。
根据三角形内角和定理$\angle AOB = 180^{\circ}-2\alpha$。
又因为$\angle C=\beta$，$\angle C$与$\angle AOB$分别是弧$AB$所对的圆周角和圆心角，由圆周角定理$\angle C=\frac{1}{2}\angle AOB$（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）。
即$\beta=\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\alpha)$。
展开$\beta = 90^{\circ}-\alpha$，移项可得$\alpha+\beta=90^{\circ}$。
综上，（1）$\beta = 55^{\circ}$；（2）$\alpha+\beta = 90^{\circ}$。