《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册人教版》

11. 如图 23 - 1 - 7,正方形 $ABCD$ 的边长为 3,$E$,$F$ 分别是 $AB$,$BC$ 边上的点,且 $\angle EDF = 45^{\circ}$. 将 $\triangle DAE$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$,得到 $\triangle DCM$.
(1) 求证:$EF = MF$;
(2) 当 $AE = 1$ 时,求 $EF$ 的长.

答案：
(1)证明:因为△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM,所以DE=DM,∠EDM=90°.所以∠EDF+∠FDM=90°.因为∠EDF=45°,所以∠FDM=∠EDF=45°.又因为DF=DF,所以△DEF≌△DMF(SAS).所以EF=MF.
(2)解:设EF=x.因为AE=CM=1,所以BF=BM-FM=BM-EF=4-x.因为EB=AB-AE=2,所以在Rt△EBF中,由勾股定理,得EB²+BF²=EF²,即2²+(4-x)²=x².解得x=5/2.所以EF的长为5/2.

12. (选做题)如图 23 - 1 - 8,$K$ 是正方形 $ABCD$ 内一点,以 $AK$ 为一边作正方形 $AKLM$,连接 $BK$ 和 $DM$,试用旋转的知识说明线段 $BK$ 和 $DM$ 的数量关系.

答案： 解:BK=DM.因为四边形ABCD、四边形AKLM均为正方形,所以AB=AD,AK=AM,∠DAB=∠MAK=90°.所以∠DAM=∠BAK.所以△ADM可看成由△ABK绕点A逆时针旋转90°得到.所以BK=DM.

1. 如图 23 - 1 - 9,请你先观察,然后确定第 4 个图形为(D).

答案： D