《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册人教版》

12. 图 22-2-8 是二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象,给出下列说法：① $ ac ＜ 0 $；②关于 $ x $ 的方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的两个根是 $ x_{1} = -1,x_{2} = 3 $；③ $ a + b + c ＞ 0 $；④当 $ x ＞ 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大.其中正确的有 ①②④.(填序号)

答案： ①②④

13. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象如图 22-2-9.
(1)$ b = $-2a,$ c = $ ______-3a；(两空均用含 $ a $ 的代数式表示)
(2)$ b^{2} - 4ac $＞$ 0 $,$ a $ ______ ＜$ 0 $,$ b $ ______ ＞$ 0 $,$ a - b + c $ ______ =$ 0 $,$ 4a + 2b + c $ ______ ＞$ 0 $；(所有空均选填“$ ＞ $”“$ = $”或“$ ＜ $”)
(3)关于 $ x $ 的方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的两个根是x₁=-1,x₂=3；
(4)当-1＜x＜3时,$ y ＞ 0 $；当 ______ x＞3或x＜-1时,$ y ＜ 0 $.

答案：
(1)-2a　-3a　
(2)＞　＜　＞　=　＞
(3)x₁=-1,x₂=3　
(4)-1＜x＜3　x＞3或x＜-1

14. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象如图 22-2-10.
(1)请写出关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的根；
(2)请写出关于 $ x $ 的不等式 $ ax^{2} + bx + c ＞ 0 $ 的解集；
(3)请你再写出 3 条从图象中得出的结论.

答案： 1. （1）
解：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$，其根就是二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象与$x$轴交点的横坐标。
由图象可知，二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象与$x$轴交点的横坐标为$x=-1$和$x = 3$，所以方程$ax^{2}+bx + c = 0$的根为$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$。
2. （2）
解：不等式$ax^{2}+bx + c\gt0$的解集就是二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象在$x$轴上方部分对应的$x$的取值范围。
由图象可知，当$-1\lt x\lt3$时，函数图象在$x$轴上方，所以不等式$ax^{2}+bx + c\gt0$的解集为$-1\lt x\lt3$。
3. （3）
结论1：因为抛物线开口向下，所以$a\lt0$。
结论2：对称轴$x=\frac{-1 + 3}{2}=1$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$-\frac{b}{2a}=1$，即$b=-2a$。
结论3：当$x = 0$时，$y=c$，由图象可知图象与$y$轴交点在$y$轴正半轴，所以$c\gt0$。
综上，（1）方程的根为$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$；（2）不等式解集为$-1\lt x\lt3$；（3）结论：$a\lt0$；$b=-2a$；$c\gt0$（答案不唯一）。