《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册人教版》

9. 在周长为 13 cm 的矩形铁板上剪去一个等边三角形(这个等边三角形的一边是矩形的宽),则矩形的宽为4-√3cm,长为5/2+√3cm 时,剩下的面积最大,最大面积是13-13√3/4cm².

答案： 4-√3 5/2+√3 13-13√3/4

10. 某地欲建一抛物线形建筑物. 该建筑地面宽度为 200 m,在两侧距地面高 150 m 处欲各建一个观光窗(如图 22-3-11 中 $ A $,$ B $),两窗的水平距离为 100 m,求该建筑的最大高度.

答案：
解:如图 D-22-2,建立平面直角坐标系,此时,抛物线与 x 轴的交点分别为C(-100,0),D(100,0),且A(-50,150),B(50,150).设这条抛物线的表达式为$y=ax^{2}+c$.因为抛物线经过点B(50,150),D(100,0),所以$\left\{\begin{array}{l} 2500a+c=150,\\ 10000a+c=0,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=-\frac {1}{50},\\ c=200,\end{array}\right. $所以抛物线的表达式为$y=-\frac {1}{50}x^{2}+200.$当x=0时,y=200,所以该建筑的最大高度为200 m.

11. 如图 22-3-12,排球运动员站在点 $ O $ 处练习发球,将球从点 $ O $ 正上方 2 m 的 $ A $ 处发出,把球看成点,其运行的高度 $ y $(m)与运行的水平距离 $ x $(m)满足关系式 $ y = a(x - 6)^{2}+h $. 已知球网与点 $ O $ 的水平距离为 9 m,高度为 2.43 m,球场的边界距点 $ O $ 的水平距离为 18 m.
(1)当 $ h = 2.6 $ 时,求 $ y $ 与 $ x $ 的关系式(不要求写出自变量 $ x $ 的取值范围).
(2)当 $ h = 2.6 $ 时,球能否越过球网？若能过网,球会不会出界？请说明理由.
(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求 $ h $ 的取值范围.

答案： 解:
(1)把x=0,y=2及h=2.6代入$y=a(x-6)^{2}+h$,得$2=a(0-6)^{2}+2.6$.所以$a=-\frac {1}{60}.$所以当h=2.6时,y与x的关系式为$y=-\frac {1}{60}(x-6)^{2}+2.6$.
(2)当h=2.6时,$y=-\frac {1}{60}(x-6)^{2}+2.6$.当x=9时,$y=-\frac {1}{60}(9-6)^{2}+2.6=2.45＞2.43$,所以球能越过球网.当y=0时,即$-\frac {1}{60}(x-6)^{2}+2.6=0$,解得$x=6+\sqrt {156}＞18$或$x=6-\sqrt {156}$(舍去),所以球会出界.
(3)把x=0,y=2代入$y=a(x-6)^{2}+h$,得$a=\frac {2-h}{36}$.当x=9时,$y=\frac {2-h}{36}(9-6)^{2}+h=\frac {2+3h}{4}＞2.43$①;当x=18时,$y=\frac {2-h}{36}(18-6)^{2}+h=8-3h≤0$②.由①②解得$h≥\frac {8}{3}$.所以若球一定能越过球网,又不出边界,则h的取值范围为$h≥\frac {8}{3}.$