《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册人教版》

12. 已知 $ x^{2}+3xy - 10y^{2} = 0(y \neq 0) $,求 $ \frac{x + y}{x - y} $ 的值.

答案： 解:原方程可化为$(x-2y)(x+5y)=0,$所以$x=2y$或$x=-5y.$所以$\frac {x+y}{x-y}=3$或$\frac {x+y}{x-y}=\frac {2}{3}.$

13. 如果关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+mx - 1 = 0 $ 的一个根是 $ \sqrt{2}-1 $,求方程的另一个根和 $ m $ 的值.

答案： 解:设$x_{1}=\sqrt {2}-1$,另一个根为$x_{2}$,把$x_{1}=\sqrt {2}-1$代入方程,得$(\sqrt {2}-1)^{2}+(\sqrt {2}-1)\cdot m-1=0$.所以解得$m=2$.所以原方程为$x^{2}+2x-1=0$,解得$x_{1}=\sqrt {2}-1,x_{2}=-1-\sqrt {2}.$

14. (选做题)阅读材料,解答问题.
材料: 为解方程 $ (x^{2}-1)^{2}-5(x^{2}-1)+4 = 0 $,我们可以视 $ x^{2}-1 $ 为一个整体,然后设 $ x^{2}-1 = y $,原方程可化为 $ y^{2}-5y + 4 = 0 $①,解得 $ y_{1} = 1,y_{2} = 4 $.
当 $ y = 1 $ 时,$ x^{2}-1 = 1 $,即 $ x^{2} = 2 $,所以 $ x = \pm \sqrt{2} $.
当 $ y = 4 $ 时,$ x^{2}-1 = 4 $,即 $ x^{2} = 5 $,所以 $ x = \pm \sqrt{5} $.
所以原方程的解为 $ x_{1} = \sqrt{2},x_{2} = -\sqrt{2},x_{3} = \sqrt{5},x_{4} = -\sqrt{5} $.
解答问题:
(1)填空:在由原方程得到①的过程中利用换元法,达到了降次的目的,体现了转化的数学思想;
(2)解方程 $ x^{4}-x^{2}-6 = 0 $.
$x=\pm \sqrt {3}.$

答案：
(1)换元 转化
(2)$x=\pm \sqrt {3}.$

1. 如果两个数的和为 2,积为 -15,那么求其中一个数 $ x $,所列的方程为(A).
A.$ x^{2}-2x - 15 = 0 $
B.$ x^{2}+2x + 15 = 0 $
C.$ x^{2}-2x + 15 = 0 $
D.$ x^{2}+2x - 15 = 0 $

答案： A