《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册人教版》

15. 如图 24 - 1 - 53,在$\odot O$中,$AB = AC$,$OD\perp AB于点D$,$OE\perp AC于点E$。求证：$\angle ODE = \angle OED$。
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答案： 提示:根据AB=AC,证对应的弦心距OD=OE即可.

16. (选做题)如图 24 - 1 - 54,已知$O是\angle EPF$的平分线上的一点,以$O为圆心的圆与角的两边分别交于点A$,$B和C$,$D$。
(1)求证：$PB = PD$。
(2)若角的顶点$P$在圆上或圆内,(1)中的结论还成立吗？若不成立,请说明理由；若成立,请加以证明。
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答案：

(1)证明:过点O作OM⊥AB于点M,ON⊥CD于点N,则BM=$\frac{1}{2}$AB,DN=$\frac{1}{2}$CD(垂径定理).因为PO是∠EPF的平分线，所以OM=ON.所以AB=CD(相等的弦心距所对的弦相等).所以BM=DN.易得△POM≌△PON,所以PM=PN.所以PM+BM=PN+DN,即PB=PD.
(2)解:结论依然成立.①顶点P在圆上，点P,A,C重合,由上面AB=CD,得PB=PD.②顶点P在圆内，如图D-24-1,同理:AB=CD,BM=DN,△POM≌△PON,所以PM=PN.所以BM+PM=DN+PN,即PB=PD.

17. 如图 24 - 1 - 55,$AB为\odot O$的直径,点$C在\odot O$上,延长$BC至点D$,使$DC = CB$。连接$DA$,并延长$DA$,与$\odot O的另一个交点为E$,连接$AC$,$CE$。
(1)求证：$\angle B = \angle D$；
(2)若$AB = 4$,$BC - AC = 2$,求$CE$的长。
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答案：
(1)证明:因为AB为⊙O的直径,所以∠ACB=90°,即AC⊥BC.因为DC=CB,所以AD=AB.所以∠B=∠D.
(2)解:设BC=x,则AC=x-2.在Rt△ABC中,AC²+BC²=AB²,所以(x-2)²+x²=4².解得x₁=1+$\sqrt{7}$,x₂=1-$\sqrt{7}$(舍去).因为∠B=∠E,∠B=∠D,所以∠D=∠E.所以CD=CE.因为CD=CB,所以CE=CB=1+$\sqrt{7}$.