《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册人教版》

12. (选做题)知识迁移：当 $ a ＞ 0 $ 且 $ x ＞ 0 $ 时,因为 $ (\sqrt{x}-\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x}})^{2}\geq0 $,所以 $ x - 2\sqrt{a}+\frac{a}{x}\geq0 $,从而 $ x+\frac{a}{x}\geq2\sqrt{a} $(当 $ x = \sqrt{a} $ 时取等号). 记函数 $ y = x+\frac{a}{x}(a ＞ 0,x ＞ 0) $,由上述结论可知：当 $ x = \sqrt{a} $ 时,该函数有最小值,为 $ 2\sqrt{a} $.
- 直接应用：已知函数 $ y_{1}= x(x ＞ 0) $ 与函数 $ y_{2}= \frac{1}{x}(x ＞ 0) $,则当 $ x = $1时,$ y_{1}+y_{2} $ 取得最小值,为2.
- 变形应用：已知函数 $ y_{1}= x + 1(x ＞ -1) $ 与函数 $ y_{2}= (x + 1)^{2}+4(x ＞ -1) $,求 $ \frac{y_{2}}{y_{1}} $ 的最小值,并指出取得该最小值时相应的 $ x $ 的值.
- 实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用,共 360 元；二是燃油费,每千米为 1.6 元；三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为 0.001. 设该汽车一次运输的路程为 $ x $ km,则当 $ x $ 为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？
变形应用：因为$\frac {y_{2}}{y_{1}}=\frac {(x+1)^{2}+4}{x+1}=(x+1)+\frac {4}{x+1}(x＞-1)$,所以$\frac {y_{2}}{y_{1}}$有最小值,为$2\sqrt {4}=4$,此时$x+1=\sqrt {4}$,即x=1时取得最小值.实际应用：设该汽车平均每千米的运输成本为y元,则$y=\frac {0.001x^{2}+1.6x+360}{x}=0.001x+\frac {360}{x}+1.6=0.001(x+\frac {360000}{x})+1.6$.所以当$x=\sqrt {360000}=600$时,该汽车平均每千米的运输成本y最低.最低是$0.001×2\sqrt {360000}+1.6=2.8$(元).

答案： 解:直接应用:1 2变形应用:因为$\frac {y_{2}}{y_{1}}=\frac {(x+1)^{2}+4}{x+1}=(x+1)+\frac {4}{x+1}(x＞-1)$,所以$\frac {y_{2}}{y_{1}}$有最小值,为$2\sqrt {4}=4$,此时$x+1=\sqrt {4}$,即x=1时取得最小值.实际应用:设该汽车平均每千米的运输成本为y元,则$y=\frac {0.001x^{2}+1.6x+360}{x}=0.001x+\frac {360}{x}+1.6=0.001(x+\frac {360000}{x})+1.6$.所以当$x=\sqrt {360000}=600$时,该汽车平均每千米的运输成本y最低.最低是$0.001×2\sqrt {360000}+1.6=2.8$(元).