《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册人教版》

7. 关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx + c= 0(a\neq0)$,当$b^{2}-4ac\geq0$时,该方程的实数根为$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。

答案： $b^{2}-4ac\geq0$；$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

8. 方程 $3x^{2}+6x - 5= 0$ 的根为-1±(2/3)√6。

答案： -1±(2/3)√6

9. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2}+mx - 8= 0$ 的一个根是 $2$,则 $m=$2,另一个根是-4。

答案： 2 -4

10. 若代数式 $x^{2}-x - 6$ 与代数式 $3x - 2$ 的值互为相反数,则 $x=$2或-4。

答案： 2或-4

11. 用公式法解一元二次方程：
(1) $16x^{2}+8x= -3x$；
(2) $3x^{2}-2\sqrt{3}x + 1= 0$；
(3) $4x^{2}+x + 1= 0$；
(4) $x(2x - 4)= 5 - 8x$；
(5) $2x^{2}-9x + 8= 0$；
(6) $x^{2}-7x - 18= 0$。

答案： 1. （1）
首先将方程化为一般形式：
$16x^{2}+8x + 3x=0$，即$16x^{2}+11x = 0$。
这里$a = 16$，$b = 11$，$c = 0$。
然后计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$：
$\Delta = 11^{2}-4×16×0=121$。
最后根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$：
$x=\frac{-11\pm\sqrt{121}}{2×16}=\frac{-11\pm11}{32}$。
$x_{1}=\frac{-11 + 11}{32}=0$，$x_{2}=\frac{-11-11}{32}=-\frac{11}{16}$。
2. （2）
对于方程$3x^{2}-2\sqrt{3}x + 1 = 0$，其中$a = 3$，$b=-2\sqrt{3}$，$c = 1$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$：
$\Delta=(-2\sqrt{3})^{2}-4×3×1=12 - 12=0$。
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$：
$x=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{0}}{2×3}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
所以$x_{1}=x_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
3. （3）
对于方程$4x^{2}+x + 1 = 0$，其中$a = 4$，$b = 1$，$c = 1$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$：
$\Delta=1^{2}-4×4×1=1 - 16=-15\lt0$。
因为$\Delta\lt0$，所以此方程无实数根。
4. （4）
先将方程化为一般形式：
$2x^{2}-4x-5 + 8x=0$，即$2x^{2}+4x-5 = 0$。
这里$a = 2$，$b = 4$，$c=-5$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$：
$\Delta=4^{2}-4×2×(-5)=16 + 40=56$。
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$：
$x=\frac{-4\pm\sqrt{56}}{2×2}=\frac{-4\pm2\sqrt{14}}{4}=\frac{-2\pm\sqrt{14}}{2}$。
$x_{1}=\frac{-2+\sqrt{14}}{2}$，$x_{2}=\frac{-2-\sqrt{14}}{2}$。
5. （5）
对于方程$2x^{2}-9x + 8 = 0$，其中$a = 2$，$b=-9$，$c = 8$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$：
$\Delta=(-9)^{2}-4×2×8=81 - 64 = 17$。
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$：
$x=\frac{9\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{9\pm\sqrt{17}}{4}$。
$x_{1}=\frac{9+\sqrt{17}}{4}$，$x_{2}=\frac{9-\sqrt{17}}{4}$。
6. （6）
对于方程$x^{2}-7x-18 = 0$，其中$a = 1$，$b=-7$，$c=-18$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$：
$\Delta=(-7)^{2}-4×1×(-18)=49 + 72=121$。
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$：
$x=\frac{7\pm\sqrt{121}}{2×1}=\frac{7\pm11}{2}$。
$x_{1}=\frac{7 + 11}{2}=9$，$x_{2}=\frac{7-11}{2}=-2$。
综上，（1）$x_{1}=0$，$x_{2}=-\frac{11}{16}$；（2）$x_{1}=x_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；（3）无实数根；（4）$x_{1}=\frac{-2+\sqrt{14}}{2}$，$x_{2}=\frac{-2-\sqrt{14}}{2}$；（5）$x_{1}=\frac{9+\sqrt{17}}{4}$，$x_{2}=\frac{9-\sqrt{17}}{4}$；（6）$x_{1}=9$，$x_{2}=-2$。

12. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(x - m)(mx + 2)= m - 6$,若 $m^{2}+2m= 0$,求 $x$ 的值。

答案： 解:若m²+2m=0,则m=0或-2.因方程(x-m)(mx+2)=m-6为一元二次方程,所以m≠0,即m=-2.代入原方程,得(x+2)(-2x+2)=-2-6,解得x₁=-3,x₂=2.

13. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-6x + k - 6= 0$。
(1) 若方程的一个根为 $x= -1$,求 $k$ 的值；
(2) 若 $k = 1$,解此方程。

答案： 解:
(1)把x=-1代入方程x²-6x+k-6=0,得1+6+k-6=0,解得k=-1.
(2)当k=1时,方程化为x²-6x-5=0.因为a=1,b=-6,c=-5,所以Δ=(-6)²-4×1×(-5)=56＞0,所以x=(6±2√14)/(2×1)=3±√14,所以x₁=3+√14,x₂=3-√14.

14. (选做题) 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx + c= 0(a\neq0)$ 有两个实数根 $x_{1}$,$x_{2}$,那么用含 $a$,$b$,$c$ 的代数式表示：(1) $x_{1}+x_{2}$；(2) $x_{1}\cdot x_{2}$。

答案：
(1)x₁+x₂=-b/a;
(2)x₁·x₂=c/a.