《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册人教版》

12. 已知抛物线 $ y = x^{2} + bx + c $ 经过点 $ (1, -4) $ 和 $ (-2, 5) $,请解答下列问题：
(1) 求抛物线的表达式。
(2) 如图 $ 22 - 1 - 13 $,若抛物线与 $ x $ 轴的两个交点为 $ A $, $ B $,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,在该抛物线上是否存在点 $ D $,使 $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle ABD $ 全等？若存在,求出 $ D $ 点的坐标；若不存在,请说明理由 (注：抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的对称轴是直线 $ x = -\frac{b}{2a} $)。

答案： 解:
(1)因为抛物线y=x²+bx+c经过点(1,-4)和(-2,5),所以{1+b+c=-4,4-2b+c=5.解得{b=-2,c=-3.所以抛物线的表达式为y=x²-2x-3.
(2)存在.理由:因为抛物线y=x²-2x-3的对称轴为直线x=-(-2)/2×1=1,所以根据轴对称的性质,点C关于直线x=1的对称点D即为所求.因为AB=BA,AC=BD,BC=AD,所以△ABC≌△BAD(SSS).在y=x²-2x-3中,令x=0,得y=-3,所以C(0,-3).所以D(2,-3).

1. 已知抛物线 $ y = x^{2} - 6x + c $ 的最小值为 $ 1 $,那么 $ c $ 的值是(A).
A.$ 10 $
B.$ 9 $
C.$ 8 $
D.$ 7 $

答案： A

2. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象经过 $ (1, - 1) $,$ (2, - 4) $,$ (0,4) $ 三点,那么它的对称轴是直线(D).
A.$ x = - 3 $
B.$ x = - 1 $
C.$ x = 1 $
D.$ x = 3 $

答案： D

3. 若二次函数的图象经过 $ (-1,5) $,$ (1,1) $ 和 $ (3,5) $ 三点,则这个二次函数的表达式为(B).
A.$ y = - x^{2} - 2x + 2 $
B.$ y = x^{2} - 2x + 2 $
C.$ y = - x^{2} - 2x + 1 $
D.$ y = x^{2} - 2x - 2 $

答案： B