《2025年配套综合练习甘肃九年级数学上册人教版》

8. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq 0)$ 的根的判别式 $\Delta = b^{2}-4ac$.
(1)当 $\Delta$ ＞ $0$ 时,方程有两个不相等的实数根；
(2)当 $\Delta$ = $0$ 时,方程有两个相等的实数根；
(3)当 $\Delta$ ＜ $0$ 时,方程没有实数根.

答案：
(1)＞
(2)=
(3)＜

9. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2x - m = 0$ 有两个相等的实数根,则 $m$ 的值是-1.

答案： -1

10. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2x + a = 0$ 没有实数根,则 $a$ 的取值范围是a＞1.

答案： a＞1

11. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+2x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根,则实数 $a$ 的取值范围是a＜1且a≠0.

答案： a＜1且a≠0

12. 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $kx^{2}-\sqrt{2k + 1}x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根,那么 $k$ 的取值范围是$-\frac{1}{2}\leqslant k＜\frac{1}{2}$且k≠0.

答案： $-\frac{1}{2}\leqslant k＜\frac{1}{2}$且k≠0

13. 求证：不论 $m$ 取何值,关于 $x$ 的方程 $x^{2}-(m + 1)x+\frac{m}{2}= 0$ 都有两个不相等的实数根.

答案： 证明:因为$\Delta=(m+1)^2-4\cdot\frac{m}{2}=m^2+1＞0$,所以不论m取何值,原方程都有两个不相等的实数根.

14. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $kx^{2}-4x + 2 = 0$ 有实数根.
(1)求 $k$ 的取值范围；
(2)$\triangle ABC$ 中,$AB = AC = 2$,$AB$,$BC$ 的长是关于 $x$ 的方程 $kx^{2}-4x + 2 = 0$ 的两个实数根,求 $BC$ 的长.

答案：
(1)k≤2且k≠0.
(2)将x=2代入方程,解得$k=\frac{3}{2}$.将$k=\frac{3}{2}$代入方程,解得$x_1=2$,$x_2=\frac{2}{3}$,所以$BC=\frac{2}{3}$.