《2025年同步练习上海科学技术出版社九年级数学上册沪科版》

8. 阅读材料,解答问题.
已知：锐角三角形 $ ABC $ 如图所示,求作：正方形 $ DEFG $,使 $ D $,$ E $ 落在边 $ BC $ 上,$ F $,$ G $ 分别落在边 $ AC $,$ AB $ 上.
作法：
① 画一个有三个顶点落在 $ \triangle ABC $ 两边上的正方形 $ D_1 $,$ E_1 $,$ F_1 $,$ G_1 $(如图)；
② 连接 $ BF_1 $,并延长交 $ AC $ 于点 $ F $；
③ 过点 $ F $ 作 $ EF \perp BC $ 于点 $ E $；
④ 过点 $ F $ 作 $ FG // BC $,交 $ AB $ 于点 $ G $；
⑤ 过点 $ G $ 作 $ GD \perp BC $ 于点 $ D $,则四边形 $ DEFG $ 即为所求作的正方形.
问题：
(1) 请证明上述所作四边形 $ DEFG $ 为正方形；
(2) 在 $ \triangle ABC $ 中,如果 $ BC = 120 $,边 $ BC $ 上的高为 $ 80 $,求上述正方形 $ DEFG $ 的边长；
(3) 若把 (2) 中的正方形 $ DEFG $ 改为矩形 $ DEFG $,且 $ GF = \frac{1}{2}DG $,其他条件不变,此时,$ GF $ 是多少？

答案：
(1)由$EF\perp BC$，$GD\perp BC$，$FG// BC$，易得四边形$DEFG$是矩形.由相似三角形的性质，可得$\dfrac{F_1G_1}{FG}=\dfrac{BF_1}{BF}=\dfrac{E_1F_1}{EF}$，然后由四边形$D_1E_1F_1G_1$是正方形，可得$FG=EF$，即可证四边形$DEFG$为正方形　
(2)过点$A$作$AM\perp BC$于点$M$，交$FG$于点$N$，由四边形$DEFG$为正方形可得$\triangle AGF\backsim\triangle ABC$.设正方形$DEFG$的边长为$x$，由相似三角形对应高的比等于相似比可得方程$\dfrac{80 - x}{80}=\dfrac{x}{120}$.解方程，得$x = 48$，所以正方形$DEFG$的边长为48　
(3)设$GF = x$，则$DG = 2x$，用
(2)中类似方法可得$x = 30$，$\therefore GF = 30$