《2025年同步练习上海科学技术出版社九年级数学上册沪科版》

5. 如图,将三角形纸片$(\triangle ABC)$沿EF折叠,使点B落在边AC上,记为点B'.已知AB = AC = 3,BC = 4.若以点B',F,C为顶点的三角形与$\triangle ABC$相似,则BF = $\frac{12}{7}$或 2.

答案： $\frac{12}{7}$或 2

6. 如图,在四边形$ABCD$中,$∠ABC = 90^{\circ}$,$AD// BC$,$AD = 4$,$AB = 5$,$BC = 6$.点$P是AB$上一个动点,当$PC + PD$的和最小时,求$PB$的长.

答案： 3(提示：延长 DA 到$D'$,使$D'A=DA$,连接$D'C$交 AB 于点 P.点 P 即为所求.$PB=3$)

7. 在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$∠BAC = 120^{\circ}$,$P为BC$的中点.小明拿着含有$30^{\circ}$角的透明直角三角板,使$30^{\circ}角的顶点落在点P$上,三角板绕点$P$旋转.
(1) 如图(1),当三角板的一直角边和斜边分别与$AB$,$AC交于点E$,$F$时,求证：$\triangle BPE\backsim\triangle CFP$；
(2) 操作：将三角板绕点$P$旋转到图(2)情形时,三角板的两边分别交$BA$的延长线、边$AC于点E$,$F$,连接$EF$.
① 探究1：$\triangle BPE与\triangle CFP$相似吗？请说明理由；② 探究2：$\triangle BPE与\triangle PFE$相似吗？请说明理由.

答案： （1）先证$∠B=∠C=30^{\circ}$,$∠BEP=∠CFP$,即得$\triangle BPE \sim \triangle CFP$ （2）①$\triangle BPE \sim \triangle CFP$.理由同（1） ②$\triangle BPE \sim \triangle PFE$.可证$\triangle BPE \sim \triangle CFP$,得$CP:BE=PF:PE$,而$CP=BP$,因此$BP:BE=PF:PE$.又$\because ∠EBP=∠EPF$,$\therefore \triangle BPE \sim \triangle PFE$