《2025年同步练习上海科学技术出版社九年级数学上册沪科版》

5. 若反比例函数$y= \frac{k}{x}$的图象经过点(m,3m),其中$m\neq0$,则此反比例函数的图象在第一、三象限。

答案： 一、三

6. 在平面直角坐标系的第一象限内,边长为$1的正方形ABCD$的边均平行于坐标轴,点$A的坐标为(a,a)$。如图,若曲线$y= \frac{3}{x}(x＞0)$与此正方形的边有交点,则$a$的取值范围是$\sqrt{3} \leqslant a \leqslant \sqrt{3}+1$。

答案： $\sqrt{3} \leqslant a \leqslant \sqrt{3}+1$

7. 已知一次函数$y= x+2与反比例函数y= \frac{k}{x}$,一次函数$y= x+2的图象经过点P(k,5)$。
(1) 试确定反比例函数的表达式；
(2) 若点$Q$是上述一次函数与反比例函数的图象在第三象限的交点,求点$Q$的坐标。

答案： $(1)$ 确定反比例函数的表达式
解：
因为一次函数$y = x + 2$的图象经过点$P(k,5)$，
将点$P(k,5)$代入一次函数$y = x + 2$中，可得$5=k + 2$，
解得$k = 3$。
因为反比例函数$y=\frac{k}{x}$，把$k = 3$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，
所以反比例函数的表达式为$y=\frac{3}{x}$。
$(2)$ 求点$Q$的坐标
解：
联立一次函数$y = x + 2$与反比例函数$y=\frac{3}{x}$的方程，可得$\begin{cases}y = x + 2\\y=\frac{3}{x}\end{cases}$，
将$y = x + 2$代入$y=\frac{3}{x}$中，得到$x + 2=\frac{3}{x}$，
方程两边同时乘以$x$（$x\neq0$）得$x^{2}+2x - 3 = 0$，
因式分解得$(x + 3)(x - 1)=0$，
则$x + 3 = 0$或$x - 1 = 0$，
解得$x_1=-3$，$x_2 = 1$。
当$x=-3$时，$y=-3 + 2=-1$；当$x = 1$时，$y=1 + 2=3$。
因为点$Q$在第三象限，第三象限内点的横、纵坐标都小于$0$，
所以点$Q$的坐标为$(-3,-1)$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{y=\frac{3}{x}}$；$(2)$$\boldsymbol{(-3,-1)}$。

8. 已知直线$y= -3x与双曲线y= \frac{m-5}{x}交于点P(-1,n)$。
(1) 求$m$的值；
(2) 若点$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)在双曲线y= \frac{m-5}{x}$上,且$x_1＜x_2＜0$,试比较$y_1$,$y_2$的大小。

答案： $(1)$ 求$m$的值
解：
- 因为点$P(-1,n)$在直线$y = -3x$上，将$x=-1$代入直线方程$y = -3x$，根据代入法可得：
$n=-3×(-1)=3$，所以点$P$的坐标为$(-1,3)$。
- 又因为点$P(-1,3)$在双曲线$y=\frac{m - 5}{x}$上，将$P(-1,3)$代入双曲线方程$y=\frac{m - 5}{x}$，即$3=\frac{m - 5}{-1}$。
根据等式性质，两边同时乘以$-1$得：$m - 5=-3$。
两边同时加$5$可得：$m=-3 + 5=2$。
$(2)$ 比较$y_1$，$y_2$的大小
- 由$(1)$知$m = 2$，则双曲线的解析式为$y=\frac{2 - 5}{x}=-\frac{3}{x}$。
- 对于反比例函数$y = \frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\neq0$），当$k=-3\lt0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
- 因为点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$在双曲线$y = -\frac{3}{x}$上，且$x_1\lt x_2\lt0$，即$A$、$B$两点在同一象限（第二象限）。
根据反比例函数$y = -\frac{3}{x}$（$k=-3\lt0$）在$x\lt0$时的单调性可知：$y_1\lt y_2$。
综上，$(1)$$\boldsymbol{m = 2}$；$(2)$$\boldsymbol{y_1\lt y_2}$。