《2025年同步练习上海科学技术出版社九年级数学上册沪科版》

10. 如图,$ AB = BC = CD = 10 cm $,等腰直角三角形 $ ABC $ 以 $ 2 cm/s $ 的速度沿直线 $ l $ 向正方形 $ CDEF $ 移动,直到 $ AB $ 与 $ DC $ 重合。设移动 $ x s $ 时,三角形与正方形重叠部分的面积为 $ y cm^{2} $。
(1) 写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式；
(2) 当 $ x = 2 $,$ 3.5 $ 时,$ y $ 分别是多少？
(3) 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时,三角形移动了多长时间？

答案：
(1)$y=2x^{2}(0\leqslant x\leqslant 5)$
(2)8，24.5
(3)5 s

11. 分别写出符合下列条件的抛物线 $ y = ax^{2} $ 的函数表达式。
(1) 经过点 $ (-3, 2) $；
(2) 与 $ y = \frac{1}{3}x^{2} $ 的开口大小相同,方向相反；
(3) 当 $ x $ 的值由 1 增加到 2 时,函数值 $ y $ 减少 4。

答案： $(1)$
解：已知抛物线$y = ax^{2}$经过点$(-3,2)$，将$x=-3$，$y = 2$代入$y = ax^{2}$中，可得：
$2=a×(-3)^{2}$，即$2 = 9a$，
解得$a=\frac{2}{9}$，
所以函数表达式为$y=\frac{2}{9}x^{2}$。
$(2)$
对于抛物线$y = ax^{2}$，$\vert a\vert$决定开口大小，$a$的正负决定开口方向。
因为所求抛物线与$y=\frac{1}{3}x^{2}$的开口大小相同，方向相反，所以$a =-\frac{1}{3}$，
则函数表达式为$y =-\frac{1}{3}x^{2}$。
$(3)$
解：当$x = 1$时，$y=a×1^{2}=a$；当$x = 2$时，$y=a×2^{2}=4a$。
已知当$x$的值由$1$增加到$2$时，函数值$y$减少$4$，则$a-4a=4$，
即$-3a = 4$，
解得$a=-\frac{4}{3}$，
所以函数表达式为$y =-\frac{4}{3}x^{2}$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{y=\frac{2}{9}x^{2}}$；$(2)$$\boldsymbol{y =-\frac{1}{3}x^{2}}$；$(3)$$\boldsymbol{y =-\frac{4}{3}x^{2}}$。

1. 下列说法正确的是(B).

A.二次函数 $ y = x^{2} - 5 $ 的图象与 $ y = x^{2} + 5 $ 的图象的形状不同
B.二次函数 $ y = x^{2} - 5 $ 的图象可以由 $ y = x^{2} $ 的图象向下平移 5 个单位得到
C.抛物线 $ y = - 3x^{2} $ 可以由抛物线 $ y = 3x^{2} $ 通过平移得到
D.抛物线 $ y = 4x^{2} $ 与抛物线 $ y = 4x^{2} + 3 $ 的形状、顶点坐标和对称轴完全相同

答案： B

2. 在平面直角坐标系中,将二次函数 $ y = 2x^{2} $ 的图象向上平移 2 个单位,所得图象的函数表达式为(B).
A.$ y = 2x^{2} - 2 $
B.$ y = 2x^{2} + 2 $
C.$ y = 2(x - 2)^{2} $
D.$ y = 2(x + 2)^{2} $

答案： B

3. 已知正比例函数 $ y = ax(a \neq 0) $,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,则函数 $ y = ax^{2} + a $ 的图象经过的象限是(A).
A.第三、四象限
B.第一、二象限
C.第二、三、四象限
D.第一、二、三象限

答案： A