《2025年同步练习上海科学技术出版社九年级数学上册沪科版》

15. 已知抛物线 $ p:y = ax^{2} + bx + c $ 的顶点为 $ C $,与 $ x $ 轴相交于 $ A $,$ B $ 两点(点 $ A $ 在点 $ B $ 左侧),点 $ C $ 关于 $ x $ 轴的对称点为 $ C' $,我们称以 $ A $ 为顶点且过点 $ C' $、对称轴与 $ y $ 轴平行的抛物线为抛物线 $ p $ 的“梦之星”抛物线,直线 $ AC' $ 为抛物线 $ p $ 的“梦之星”直线.若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是 $ y = x^{2} + 2x + 1 $ 和 $ y = 2x + 2 $,则这条抛物线的函数表达式为$y=x^{2}-2x-3$.

答案： $y=x^{2}-2x-3$

16. 已知一条抛物线经过 $ (-1,0) $,$ (3,0) $,$ (1,-5) $ 三点,求该抛物线对应的函数表达式.

答案： $y=\dfrac{5}{4}x^{2}-\dfrac{5}{2}x-\dfrac{15}{4}$

17. 如图,一次函数 $ y = - x + 5 $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 在第一象限的图象交于 $ A(1,n) $ 和 $ B $ 两点.
(1) 求反比例函数的表达式；
(2) 在第一象限内,当一次函数 $ y = - x + 5 $ 的值大于反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 的值时,求自变量 $ x $ 的取值范围.

答案： 1. （1）
解：
因为点$A(1,n)$在一次函数$y = - x + 5$的图象上，将$x = 1$代入$y=-x + 5$，根据函数值的计算方法$y=-1 + 5$，可得$n = 4$。
所以点$A$的坐标为$(1,4)$。
又因为点$A(1,4)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$的图象上，把$x = 1$，$y = 4$代入$y=\frac{k}{x}$，根据反比例函数$k=xy$，则$k=1×4 = 4$。
所以反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}$。
2. （2）
解：
联立一次函数$y=-x + 5$与反比例函数$y=\frac{4}{x}$的方程，即$\begin{cases}y=-x + 5\\y=\frac{4}{x}\end{cases}$。
将$y=-x + 5$代入$y=\frac{4}{x}$，得到$-x + 5=\frac{4}{x}$。
方程两边同乘$x$（$x\gt0$，因为在第一象限）得$-x^{2}+5x - 4 = 0$，变形为$x^{2}-5x + 4 = 0$。
根据一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，这里$a = 1$，$b=-5$，$c = 4$，则$x=\frac{5\pm\sqrt{(-5)^{2}-4×1×4}}{2×1}=\frac{5\pm\sqrt{25 - 16}}{2}=\frac{5\pm3}{2}$。
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=4$。
由图象可知，在第一象限内，当一次函数$y=-x + 5$的值大于反比例函数$y=\frac{4}{x}$的值时，自变量$x$的取值范围是$1\lt x\lt4$。
综上，（1）反比例函数表达式为$y = \frac{4}{x}$；（2）$x$的取值范围是$1\lt x\lt4$。