《2025年同步练习上海科学技术出版社九年级数学上册沪科版》

20. 已知二次函数 $ y = ax^{2} - 4a $ 图象的顶点坐标为 $ (0,4) $,矩形 $ ABCD $ 在抛物线与 $ x $ 轴围成的图形内,顶点 $ B $,$ C $ 在 $ x $ 轴上,顶点 $ A $,$ D $ 在抛物线上,且点 $ A $ 在点 $ D $ 的右侧.
(1) 求二次函数的表达式；
(2) 设点 $ A $ 的坐标为 $ (x,y) $,求矩形 $ ABCD $ 的周长 $ L $ 与自变量 $ x $ 的函数关系；
(3) 周长为 $ 10 $ 的矩形 $ ABCD $ 是否存在？若存在,请求出顶点 $ A $ 的坐标；若不存在,请说明理由.

答案： 1. （1）
对于二次函数$y = ax^{2}-4a$，其顶点式为$y=a(x - 0)^{2}-4a$，已知顶点坐标为$(0,4)$。
把$(0,4)$代入$y = ax^{2}-4a$得：$4=a×0^{2}-4a$，即$-4a = 4$，解得$a=-1$。
所以二次函数的表达式为$y=-x^{2}+4$。
2. （2）
因为点$A(x,y)$在抛物线上，所以$y=-x^{2}+4$。
由于四边形$ABCD$是矩形，$OB = x$，$AB=y$，$BC = 2x$（由抛物线的对称性可知）。
根据矩形周长公式$L = 2(AB + BC)$，则$L=2(-x^{2}+4 + 2x)$。
整理得$L=-2x^{2}+4x + 8(x\gt0)$。
3. （3）
当$L = 10$时，即$-2x^{2}+4x + 8 = 10$。
移项化为标准的一元二次方程形式：$2x^{2}-4x + 2 = 0$，两边同时除以$2$得$x^{2}-2x + 1 = 0$。
根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，这里$a = x$，$b = 1$，则$(x - 1)^{2}=0$。
解得$x_{1}=x_{2}=1$。
当$x = 1$时，$y=-1^{2}+4=3$。
所以：
(1) 二次函数表达式为$y=-x^{2}+4$；
(2) $L=-2x^{2}+4x + 8(x\gt0)$；
(3) 存在，顶点$A$的坐标为$(1,3)$。

21. 为满足市场需求,某超市在中秋节前夕,购进一种品牌月饼,每盒进价是 $ 40 $ 元.超市规定每盒售价不得少于 $ 45 $ 元.根据以往销售经验发现：当售价定为每盒 $ 45 $ 元时,每天可以卖出 $ 700 $ 盒,每盒售价每提高 $ 1 $ 元,每天要少卖出 $ 20 $ 盒.
(1) 试求出每天的销售量 $ y $ 盒与每盒售价 $ x $ 元之间的函数表达式；
(2) 当每盒售价定为多少元时,每天销售的利润 $ P $ 元最大？最大利润是多少？
(3) 如果这种月饼的每盒售价不高于 $ 58 $ 元,超市想要每天获得不低于 $ 6000 $ 元的利润,那么超市每天至少销售月饼多少盒？

答案：
(1)$y=-20x + 1600(45\leqslant x\leqslant80)$
(2)$P=y\cdot(x-40)=(-20x + 1600)(x-40)=-20(x-60)^{2}+8000$,当$x=60$时,P最大,最大利润为8000元
(3)由题意得$P=-20(x-60)^{2}+8000\geqslant6000$,解不等式得$50\leqslant x\leqslant70$.由于每盒售价不得高于58元,则$50\leqslant x\leqslant58$.在$y=-20x + 1600$中,y随x的增大而减小,所以当$x=58$时,y取得最小值,$y_{最小}=-20×58 + 1600=440$.故每天至少销售440盒