《2025年同步练习上海科学技术出版社九年级数学上册沪科版》

9. (1) 如图 (1),点 $O$ 是等边三角形 $PQR$ 的中心,$P'$,$Q'$,$R'$ 分别是 $OP$,$OQ$,$OR$ 的中点,则 $\triangle P'Q'R'$ 与 $\triangle PQR$ 是位似三角形,此时,$\triangle P'Q'R'$ 与 $\triangle PQR$ 的相似比、位似中心分别为 $1:2$，点 O。阅读后证明相应问题。
画法：
① 在 $\triangle AOB$ 内画等边三角形 $CDE$,使点 $C$ 在 $OA$ 上,点 $D$ 在 $OB$ 上；
② 连接 $OE$ 并延长,交 $AB$ 于点 $E'$,过点 $E'$ 作 $E'C'// EC$,交 $OA$ 于点 $C'$,作 $E'D'// ED$,交 $OB$ 于点 $D'$；
③ 连接 $C'D'$,则 $\triangle C'D'E'$ 是 $\triangle AOB$ 的内接三角形。
求证：$\triangle C'D'E'$ 是等边三角形。

答案：
(1) $1:2$，点 O
(2)根据作法可知：$E'C'// EC$，$E'D'// ED$，可证得$\triangle OCE\backsim\triangle OC'E'$，$\triangle ODE\backsim\triangle OD'E'$，$\angle OEC=\angle OE'C'$，$\angle OED=\angle OE'D'$，
∴$\angle CED=\angle C'E'D'$，进而由对应边成比例且夹角相等可证得$\triangle CDE\backsim\triangle C'D'E'$，
∴$\triangle C'D'E'$是等边三角形

1. 如图,三个正六边形全等,其中成位似图形关系的有(D).

A.0 对
B.1 对
C.2 对
D.3 对

答案： D

2. 如图,正方形 $ OEFG $ 和正方形 $ ABCD $ 是位似图形,且点 $ F $ 与点 $ C $ 是一对对应点,点 $ F $ 的坐标是 $ (1,1) $,点 $ C $ 的坐标是 $ (4,2) $,则它们的位似中心的坐标是(C).

A.$ (0,0) $
B.$ (-1,0) $
C.$ (-2,0) $
D.$ (-3,0) $

答案： C

3. 下列判断中,正确的是(D).
A.位似图形可以通过平移而相互得到
B.位似图形的对应边平行且相等
C.位似图形的位似中心不止一个
D.位似中心到对应点的距离之比都相等

答案： D