《2025年同步练习上海科学技术出版社九年级数学上册沪科版》

1. 下图为拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为 $ O $,$ B $,以点 $ O $ 为原点,水平直线 $ OB $ 为 $ x $ 轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可近似看成抛物线 $ y = -\frac{1}{400}(x - 80)^2 + 16 $,桥拱与桥墩 $ AC $ 的交点 $ C $ 恰好在水面,有 $ AC \perp x $ 轴。若 $ OA = 10 \, m $,则桥面离水面的高度 $ AC $ 为(C)。

A.$ 16\frac{9}{40} \, m $
B.$ 16\frac{7}{40} \, m $
C.$ \frac{17}{4} \, m $
D.$ \frac{15}{4} \, m $

答案： C

2. 如图,四边形 $ ABCD $ 中,$ \angle BAD = \angle ACB = 90° $,$ AB = AD $,$ AC = 4BC $。若 $ CD $ 的长为 $ x $,四边形 $ ABCD $ 的面积为 $ y $,则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式是(A)。

A.$ y = \frac{2}{5}x^2 $
B.$ y = \frac{4}{25}x^2 $
C.$ y = \frac{2}{25}x^2 $
D.$ y = \frac{4}{5}x^2 $

答案： A

3. 从地面垂直向上抛出一小球,小球的高度 $ h \, m $ 与小球运动时间 $ t \, s $ 的函数表达式是 $ h = 9.8t - 4.9t^2 $。那么小球运动中的最大高度为 4.9 $ m $。

答案： 4.9

4. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle B = 90° $,$ AB = 12 \, cm $,$ BC = 24 \, cm $,动点 $ P $ 从 $ A $ 开始沿边 $ AB $ 向 $ B $ 以 $ 1 \, cm/s $ 的速度移动,动点 $ Q $ 从 $ B $ 开始沿边 $ BC $ 向 $ C $ 以 $ 2 \, cm/s $ 的速度移动。如果 $ P $,$ Q $ 分别从 $ A $,$ B $ 同时出发,$ \triangle PBQ $ 的面积 $ S $ 随出发时间 $ t $ 变化的函数表达式为 S=-t²+12t,时间 $ t $ 的取值范围为 0≤t≤12。

答案： S=-t²+12t 0≤t≤12

5. 某司机驾车行驶在公路上,突然发现正前方有一行人,他立即刹车。已知,汽车刹车后行驶距离 $ S \, m $ 与行驶时间 $ t \, s $ 之间的函数表达式为 $ S = -5t^2 + 20t $,则司机刹车时距离行人至少 20 $ m $ 才不会撞到行人。

答案： 20

6. 某商品的进价为每件 $ 40 $ 元。当售价为每件 $ 60 $ 元时,每星期可卖出 $ 300 $ 件。现需降价处理,且经市场调查：每降价 $ 1 $ 元,每星期可多卖出 $ 20 $ 件。在确保盈利的前提下,解答下列问题：
(1)若设每件降价 $ x $ 元、每星期售出商品的利润为 $ y $ 元,请写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式,并求出自变量 $ x $ 的取值范围；
(2)当降价多少元时,每星期的利润最大？最大利润是多少？

答案： $ (1) $求$y$与$x$之间的函数表达式及自变量$x$的取值范围$ $　　
$- **$步骤一：分析利润的计算方式$ $　　
利润$y = ( )$每件售价$-$每件进价$)×$销售量。已知进价为$40$元，原售价$60$元，降价$x$元后，每件售价为$(60 - x)$元；原销售量$300$件，每降价$1$元多卖$20$件，降价$x$元后，销售量为$(300 + 20x)$件。$- **$步骤二：列出函数表达式$**$根据上述分析可得$y=(60 - x - 40)(300 + 20x)，$化简：$ $　　
$y=(20 - x)(300 + 20x) $　　
$=20×300+20×20x-300x - 20x^{2} $　　
$=6000 + 400x - 300x - 20x^{2}　$　　
$=- 20x^{2}+100x + 6000　$　　
$- **$步骤三：求自变量$x$的取值范围$**$因为要确保盈利，所以$60 - x - 40\gt0，$即$20 - x\gt0，$解得$x\lt20；$又因为$x\geqslant0（$降价金额不能为负$），$所以$0\leqslant x\lt20。$###
(2) 求利润最大时的降价金额和最大利润$- **$步骤一：将函数表达式化为顶点式$**$对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c（a\neq0），$其顶点式为$y=a(x - h)^{2}+k，$其中$h =-\frac{b}{2a}，$$k = y|_{x = h}。$对于$y=-20x^{2}+100x + 6000，$其中$a=-20，$$b = 100，$$c = 6000。$根据顶点横坐标公式$h=-\frac{b}{2a}=-\frac{100}{2×(-20)}=\frac{100}{40}=2.5。$将$x = 2.5$代入函数可得：$ $　　
$y=-20×(2.5)^{2}+100×2.5 + 6000　$　　
$=-20×6.25+250 + 6000 $　　
$=-125+250 + 6000 $　　
$=6125$　　　　
因为$a=-20\lt0，$所以二次函数图象开口向下，在顶点处取得最大值。综上，$(1)y$与$x$之间的函数表达式为$\boldsymbol{y=-20x^{2}+100x + 6000}，$自变量$x$的取值范围是$\boldsymbol{0\leqslant x\lt20}；$$(2)$当降价$\boldsymbol{2.5}$元时，每星期的利润最大，最大利润是$\boldsymbol{6125}$元。